Aufgabe:
$$ \text{Es seien } f: \ V\rightarrow V \text{ eine lineare Abbildung, } v_1,...,v_n\in V \\\text{Eigenvektoren von f, und diese bilden eine Basis für V} $$ Sind dann auch die Eigenwerte von f paarweise verschieden?
Problem/Ansatz:
$$ \text{Ich betrachte n Eigenwerte von f } \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{K}.\\\text{Zu zeigen: Für alle }1≤i,j≤n \text{ gilt mit } i≠j \text{ die Eigenschaft } \lambda_i \neq \lambda_j $$
Annahme:
$$ \text{Es gibt }1\leq i,j\leq n \text{ mit } i\neq j \text{ sodass } \lambda_i = \lambda_j. (*)$$
$$ \text{Es gilt jeweils }(f-\lambda_i\cdot id)\cdot v_i=0,\quad (f-\lambda_j\cdot id)\cdot v_j=0 \text{ bzw., }\\0=(f-\lambda_i\cdot id)\cdot v_i+(f-\lambda_j\cdot id)\cdot v_j \Leftrightarrow f\cdot (v_i+v_j)=\lambda_i\cdot v_i+\lambda_j\cdot v_j\stackrel{(*)}{=} \lambda_i\cdot (v_i+v_j)$$
$$ \text{Dann ist } v_i+v_j \text{ Eigenvektor zum Eigenwert } \lambda_i \text{. Es sind aber aller Eigenvektoren von f}\\\text{nach Voraussetzung linear unabhängig. Widerspruch zur Annahme.} $$
Funktioniert mein Beweis?
