Hi Naimi,
Zu \(\limsup_{n\to \infty}(a_n+b_n)\leq \limsup_{n\to \infty}(a_n)+\limsup_{n\to \infty}(b_n)\)
Tipp:
Definiere \(h_a:=\limsup_{n\to \infty}a_n\) und \(h_b:=\limsup_{n\to \infty}b_n\). Ferner sei \(h_{a+b}\) ein bel. HP von \((a_n+b_n)\). Daraus folgt die Existenz einer Teilfolge \((a_{n_k}+b_{n_k})\) von \((a_n+b_n)\) mit \(\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}+b_{n_k}=h_{a+b}\).
Nun sei \(\varepsilon >0\) beliebig. Da \(h_a\) der größte Häufungspunkt von \((a_n)\) und \(h_b\) der größte HP von \((b_n)\) ist, gibt es ein \(k\in \mathbb{N}\) so, dass \(\forall k \geq K: a_{n_k}<h_a+\frac{\varepsilon}{2}\) und \(b_{n_k}<h_b+\frac{\varepsilon}{2}\).
.... the rest of the proof is left to the reader
Der vermutlich schlimmste Satz in jedem Lehrbuch :-)
