Bei der Newton-Interpolation wird das Polynom sukzessive berechnet. Man beginnt mit einem Stützpunkt \(p(-2)=2\) und setzt einfach:$$p_0 = 2$$Im nächsten Schritt addiert man dazu ein Polynom, welches alle Nullstellen der vorhergehenden Stützpunkte enthält:$$p_1(x) = 2 + c_1(x-x_0) = 2 + c_1(x- (-2))$$Damit wird in diesem Fall erreicht, dass \(p_1(-2)\) unverändert bleibt, da für \(x=x_0=-2\) der addierte Term zu 0 wird. Die Konstante \(c_1\) wird aus der zweiten Stützstelle \(p(0)=-2\) berechnen. Einsetzen dieser Stützstelle in \(p_1(x)\) gibt:$$-2 = 2 + c_1(0- (-2)) \implies c_1=-2 \\ p_1(x) = 2 + c_1(x-x_0) = 2 - 2(x +2)$$So geht man weiter vor: addiere ein Polynom, das alle vorhergehenden Stützstellen \(x_0=-2\) und \(x_1=0\) als Nullstellen enthält:$$p_2(x) = 2 - 2(x +2) + c_2(x-x_0)(x-x_1) = 2 - 2(x +2) + c_2(x+2)(x)$$und setze die dritte Stützstelle \(p(1)=-1\) ein, so dass \(c_2\) berechnet werden kann$$-1 = 2 - 2(1 +2) + c_2(1+2)(1) \implies c_2=1$$das führt dann zum finalen Polynom \(p(x)=p_2(x)\)$$p(x) = 2 - 2(x +2) + (x+2)x = x^2 -2$$
~plot~ {-2|2};{0|-2};{1|-1};2;2-2*(x+2);x^2-2 ~plot~
in dem Plot kann man sehen, wie die Polynome entwickelt werden und nach und nach alle Stützstellen durchlaufen werden.
