Polynom p bestimmen (Newton-Interpolation)

Question

Aufgabe:

Bestimme das Polynom p mit kleinstmöglichem Grad mit:

p(-2) = 2 ; p(0) = -2 ; p(1) = -1

Problem/Ansatz:

kann mir bitte einer verständlich erklären, wie ich diese Aufgabe löse? Ich blicke bei diesem Thema gar nicht durch.

Was muss ich wie lösen? Gibt es eine Formel? Vielen Dank schonmal.

Answer 1

Bei 3 Stellen wird es wohl quadratisch sein

p(x)= ax^2 + bx + c

p(-2) = 2 <=>   4a - 2b + c = 2
p(0) = -2 <=>                  c = -2 
p(1) = -1 <=>    a  + b + c = -1

2. Gleichung einsetzen gibt bei der 1. und 3.

            4a - 2b = 4
              a + b  = 1  ==>    b = 1-a in 1. einsetzen

           4a - 2(1-a) = 4

               6a = 6

                a=1  ==>     b=0

Also p(x) = x^2 - 2

Answer 2

Bei der Newton-Interpolation wird das Polynom sukzessive berechnet. Man beginnt mit einem Stützpunkt \(p(-2)=2\) und setzt einfach:$$p_0 = 2$$Im nächsten Schritt addiert man dazu ein Polynom, welches alle Nullstellen der vorhergehenden Stützpunkte enthält:$$p_1(x) = 2 + c_1(x-x_0) = 2 + c_1(x- (-2))$$Damit wird in diesem Fall erreicht, dass \(p_1(-2)\) unverändert bleibt, da für \(x=x_0=-2\) der addierte Term zu 0 wird. Die Konstante \(c_1\) wird aus der zweiten Stützstelle \(p(0)=-2\) berechnen. Einsetzen dieser Stützstelle in \(p_1(x)\) gibt:$$-2 = 2 + c_1(0- (-2)) \implies c_1=-2 \\ p_1(x) = 2 + c_1(x-x_0) = 2 - 2(x +2)$$So geht man weiter vor: addiere ein Polynom, das alle vorhergehenden Stützstellen \(x_0=-2\) und \(x_1=0\) als Nullstellen enthält:$$p_2(x) = 2 - 2(x +2) + c_2(x-x_0)(x-x_1) = 2 - 2(x +2) + c_2(x+2)(x)$$und setze die dritte Stützstelle \(p(1)=-1\) ein, so dass \(c_2\) berechnet werden kann$$-1 = 2 - 2(1 +2) + c_2(1+2)(1) \implies c_2=1$$das führt dann zum finalen Polynom \(p(x)=p_2(x)\)$$p(x) = 2 - 2(x +2) + (x+2)x = x^2 -2$$

~plot~ {-2|2};{0|-2};{1|-1};2;2-2*(x+2);x^2-2 ~plot~

in dem Plot kann man sehen, wie die Polynome entwickelt werden und nach und nach alle Stützstellen durchlaufen werden.