Ich verstehe nicht, was bei 2. gemacht wird:
1. Warum ist die Ableitung genauso? Ich kann das verstehen wegen \( (Ax-b)^2 \), aber möchte auch mit dem Schreibweis \( \sum \limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{(a_{ij}+X_j - b_J)}} \) verstehen.
2. Warum ist \( \sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{(a_{ij}+X_j - b_J) a_{ik}}} = \sum\limits_{i=1}^{m}{2(a^T)_{ki}} \) (.....) ?
\( f(x)=\langle A x-b, A x-b\rangle=\sum \limits_{i=1}^{m}(A x-b)_{i}^{2}=\sum \limits_{i=1}^{m}\left(\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}-b_{i}\right) \)
Dann ist
\( \frac{\partial f}{\partial x_{k}}=\sum \limits_{i=1}^{m} 2\left(\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}-b_{i}\right) a_{i k}=\sum \limits_{i=1}^{m} 2\left(a^{T}\right)_{k i}\left(\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}-b_{i}\right) \)
Das kann geschrieben werden als
\( \nabla f(x)=2 A^{T}(A x-b)=2 A^{T} A x-2 A^{T} b \)
