(i^n^2) / n (absolute) Konvergenz von Reihe überprüfen

Question

Aufgabe:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{ i^{(n^2) }} {n} } $$

Auf absolute Konvergenz und Konvergenz prüfen.

Problem/Ansatz:

Wenn ich den Betrag von der Reihe nehme, dann habe ich doch die Reihe ∑ 1/n.
Also ist die Reihe nicht absolut Konvergent.
Nun weiß ich leider nicht wie ich die Reihe auf Konvergenz überprüfen soll.

Comments

Was passiert, wenn n gerade bzw. ungerade ist?

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wenn n ungerade ist, dann ist i = i und wenn n gerade ist, dann ist i = 1
also i^1 = i, i^4 = 1, i^9 = i, i^16 = 1, i^25 = i, usw.
damit hätte ich ja im real teil die hälfte der harmonischen Reihe. Die hälfte von unendlich wäre auch unendlich. Also divergent. Aber was mache ich dann mit dem Imaginären Teil.

Answer 1

du hast es bereits richtig gemerkt: für gerade n ist i^{n^2}=1 und für ungerade i^{n^2}=i

Damit ist

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{ i^{(n^2) }} {n} }=\sum\limits_{n=0}^{\infty} i/(2n+1)+\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1/(2n)=i\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1/(2n+1)+\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1/(2n)$$

Beide Summen divergieren, damit also auch der Real bzw. Imaginärteil. Die Reihe ist divergent.