Relative extremstellen berechnen

Question

Irgendwas mache ich Falsch... könnte jemand mir helfen?

Berechnen Sie von den Funktion f(x) die relativen Extremstellen mit Hilfe eines geeigneten Kriteriums.

f(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1      mit D = ℝ

Also, die Ableitungen:

f'(x) = 4x³ + 9x² + 6x + 1.

f''(x) = 12x² + 18x + 6

f'''(x) = 24x + 18

Bedingung: f'(x) = 0

f'(x) = 4x³ + 9x² + 6x + 1 = 0          | Polynomdivision 

⇒ (4x³ + 9x² + 6x + 1) : (x + 1) = 4x² + 5x + 1     | p q Formel  (p= 5 und q = 1)

⇒ x_1/2 = – \( \frac{5}{2} \) ± \( \sqrt{ (  \frac{5}{2} )^2 – 1 } \)  =  – \( \frac{5}{2} \) ± \( \sqrt{   \frac{25}{4} – \frac{4}{4} } \)  =  – \( \frac{5}{2} \) ± \( \frac{5}{2} \) – \( \frac{2}{2} \) ⇔ x_1/2 – \( \frac{5}{2} \) ± \( \frac{3}{2} \) =    x₁ = –1  x₂= – 4 und x von der polynomdivision x = –1

Und jetzt die x stellen in f''(x) eingeben..

f''(-1) = 12•(-1)² + 18•(-1) + 6 = 12 – 18 + 6 = 0   | also keine extremstellen bei x= –1

f''(-4) = 12•(-4)² + 18•(-4) + 6 = 192 – 72 + 6 = 126 > 0  | bei x = – 4 gibt es einen Tiefpunkt

Jetzt x in die Funktion f(x) eingeben:

f(–4) = (–4)⁴ + 3(–4)³ + 3(–4)² + (–4) + 1 = 256 –192 + 48 – 4 + 1 = 109

Bei ( 4 | 109 ) gibt es ein Tiefpunkt.

richtig so?

Answer 1

⇒ (4x3 + 9x2 + 6x + 1) : (x + 1) = 4x2 + 5x + 1    | p q Formel  (p= 5 und q = 1)

Wenn du die pq Formel benutzt, musst du die quadratische Funktion erst auf die Form

x^2 + px + q = 0 bringen

also:

4x^2 + 5x + 1 = 0   | ÷4

x^2 + 5/4x + 1/4 = 0

x₁ = - 1/4, x₂ = - 1

Comments

Oh Mann!! Das hab ich ja komplett vergessen!! Vielen Dank :))))

Answer 2

Hallo Sharon

4x² + 5x + 1    | p q Formel  (p= 5 und q = 1)

Du musst  4x² + 5x + 1 = 0  zuerst in die Normalform  x² + 5/4 x + 1/4 = 0   (Division durch 4) bringen.

Erst dann kannst du mit  p = 5/4  und q = 1/4  die pq-Formel anwenden.

      [  →   x₁ = - 1/4   ;   x₂ = -1   ]

Gruß Wolfgang

Comments

Ohhhhh Vielen vielen Dank!... Ich hab ja total vergessen dass das x^2 für die pq Formel alleine stehen muss...!! Also vielen Dank nochmals die Hilfe!

Answer 3

f(x) = x^4 + 3·x^3 + 3·x^2 + x + 1

f'(x) = 4·x^3 + 9·x^2 + 6·x + 1 = 0

Eine Nullstelle findet man bei -1 und macht eine Polynomdivision/Horner Schema

(4·x^3 + 9·x^2 + 6·x + 1) / (x + 1) = 4·x^2 + 5·x + 1 = 0 --> x = - 1/4 ∨ x = -1 (2-fach daher Sattelpunkt)

f(-1) = 1 → SP(-1 | 1)

f(-1/4) = 229/256 → TP(-0.25 | 0.8945)

~plot~ x^4+3x^3+3x^2+x+1 ~plot~

Comments

4·x^2 + 5·x + 1 = 0 → x = - 1/4 ∨ x = -1

Ohne die beiden vorhergehenden kürzeren Antworten wüsste die Fragestellerin damit wohl immer noch nicht, wo ihr Problem liegt.

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Stimmt. Das ist mein Stichwort mal wieder die App Photomath zu empfehlen, die einfache Gleichungen schritweise Schritt für Schritt auflösen kann.

https://photomath.net/de

Einer meiner Abiturienten hat sich unter anderem Dank dieser App von einer 5 auf eine 2 verbessert und hat jetzt erfolgreich das Abitur bestanden.

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Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Ich werde meine Aufgabe nochmal nachrechnen und sicher machen dass ich die gleiche Antwort bekomme! Vielen Dank nochmal!