Aufgabe:
Betrachten Sie die Funktion f:ℝ2→ℝ gegeben durch
f(x,y)={\( \frac{xy}{x^2+y^2} \) falls (x,y) ≠ (0,0)
0 falls (x,y) = (0,0)}
1) Sind die partiellen Ableitungen stetig an (0,0)?
2) Sei α ∈ [0,2π) und sei v=\( \begin{pmatrix} cos(α)\\sin(α) \end{pmatrix} \) . Untersuchen Sie, für welche Werte von α die Richtungsableitung δvf(0,0) existiert und bestimmen Sie, im Falle der Existenz, deren Wert.
Problem/Ansatz:
1) Für die partiellen Ableitungen erhalte ich
\( \frac{δf}{δx} \) f(x,y)=\( \frac{y(-x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2} \)
\( \frac{δf}{δy} \) f(x,y)=\( \frac{x(-y^2+x^2)}{(x^2+y^2)^2} \)
Nun ist ja die Frage ob diese stetig an (0,0) sind, dafür wäre zu zeigen, dass \( \lim\limits_{x\to\ \vec{a}} \) f(\( \vec{x} \) )=f(\( \vec{a} \) ), wobei \( \vec{a} \) =(0,0).
Allerdings verstehe ich nicht wie ich dies nun angehen soll, da ich ja x und y gegen 0 streben lassen muss.
2) Hierzu habe ich folgende Definition gefunden:
Der Grenzwert δ\( \vec{v} \) f(\vec{a})=\( \lim\limits_{h\to\ 0} \) \( \frac{f(\vec{a}+h*\vec{v})-f(\vec{a})}{h} \) heißt für \( \vec{v} \) ≠0 die Richtungsableitung von f im Punkt \( \vec{a} \) in Richtung \( \vec{v} \) .
Dadurch komme ich nach einsetzen und kürzen auf δvf(0,0)=\( \lim\limits_{h\to\ 0} \) \( \frac{cos(α)*sin(α)}{h} \) .
Jetzt habe ich mir überlegt, damit die Richtungsableitung existiert, muss gelten: cos(α)*sin(α)=0 (Also α=\( \frac{π}{2} \),\( \frac{3π}{2} \),0,π) . Denn wenn h gegen 0 strebt und ich im Zähler 0 stehen habe, erhalte ich 0 als Richtungsableitung. (Ich teile ja nicht durch 0, sondern nur durch nahe 0).
Hätte ich im Zähler z.B. 1 stehen, würde ich ja unendlich rausbekommen und das wäre keine richtige Ableitung oder?
Sind meine Überlegungen richtig oder habe ich hier etwas übersehen?
