0 Daumen
369 Aufrufe

Ich habe eine Frage zum Beweis einer Ungleichung:

In der mir vorliegenden Literatur wird der Beweis für den rechten Teil der Ungleichung \( \left(1+\frac{I}{n-1}\right)^{n-t}<\left(I+\frac{l}{n}\right)^{n}<3 \) wie folgt gefiurt: Aus \( \left(1+\frac{l}{n}\right)^{n} \) folgt nach dem binomischen Lehrsatz:
\( I+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right) \frac{1}{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right) \frac{1}{n^{2}}+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \frac{1}{n^{k}}+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right) \frac{1}{n^{-1}}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) \frac{l}{n^{n}}<3 \)

Für einen beliebigen Summanden gilt, wem \( 2 \leq k \leq n \) ist.

\( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \frac{I}{n^{k}}=\frac{I}{k !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \leq \frac{1}{k !} \leq \frac{I}{2^{k-1}} \)

Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Woher kommen die Klammerausdricke? Wie kommt man auf die letzte Schranke \( \frac{1}{2^{k-1}} \) ?

Im Beweisgang hei\betat es dann weiter: Daraus folgt \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2^{k-1}}<1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3 \)

Auch diesen Schritt kamn ich bezüglich der letzten Schranke nicht nachvollziehen.

Woher kommt \( 1+\frac{1}{1-\frac{l}{2}} \)?

Quellen:

1. Kleine Einzyklopädie Mathematik, Thun und Frankfurt, 1984, S. 127 §18.1
2. Einführung in die höhere Mathematk, Stuttgart, 1967, S. 127, Nr. 13

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
Ad Klammerausdrücke:

$$\binom{n}{k}=\frac{n\cdot \ldots (n-k+1)}{k!}$$

Jeder einzelne der k verschiedenen Faktoren im Zähler wird durch n geteilt.

Ad obere Schranke:

$$k!=k \cdot (k-1)\cdot \ldots 2 \cdot 1\geq 2\cdot 2\cdot \ldots 2 \cdot 1=2^{k-1}$$

Ad letzteres Schranke:

Der mittlere term ist eine geometrische Summe, diese kann man nach oben durch die entsprechende geom. Reihe abschätzen und die Formel dafür ergibt den entsprechenden Wert.
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community