Ungleichung für allgemeine X und n Beweis

Question

Aufgabe:

Ist x ∈ℝ so gibt es zu jedem n ∈ℕ ein x_n ∈ℚ mit  \( \frac{1}{n+1} \)≤|x-x_n | ≤ \( \frac{1}{n} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht so wirklich, wie ich da rangehen soll und ohne hilfsbereite Tutoren bleibt mir nix anderes übrig als hier Hilfe zu holen.

Ich weiß leider wirklich nicht, wie ich da überhaupt anfangen kann. Ich weiß nur, was die Aufgabe von mir möchte.

Answer 1

Sei \(x>0\). Für \(n \in \N\) definieren:

$$M:=\{k \in \N \mid x+\frac{1}{n+1}<\frac{k}{(n+1)^2}\}$$

und k als das Minimum von M. Dann liegt \(k-1\) nicht in M also

$$\frac{k-1}{(n+1)^2} \leq x+\frac{1}{n+1} \Rightarrow \frac{k}{(n+1)^2} \leq x+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}\\\quad =x+\frac{n+2}{(n+1)^2} < x+\frac{1}{n}$$

Also ist

$$\frac{1}{n+1}<\frac{k}{(n+1)^2}-x<\frac{1}{n}$$

Answer 2

Ein Term zwischen \( \frac{1}{n+1} \) und \( \frac{1}{n} \) ist \( \frac{2n+1}{2} \).

Wähle also x-x_n=\( \frac{2n+1}{2} \)

oder x_n=x - \( \frac{2n+1}{2} \).

Comments

Ersteinmal danke für die Antwort aber klappt dass denn so auch?

Ich habe mir jetzt überlegt das ich beweisen müsste, dass nach der Gleichung x_n immer rational ist. Aber wie zeigt man dann sowas?

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Ich hab das mal weitergesponnen:

Sei x=π

Dabn gilt nach deiner aussage

x_n+ a =π

(a ist der (2n+1)/2 term)

Also eine rationale zahl + rationale zahl=π das funktioniert ja nicht wegen der Abgeschlossenheit