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Aufgabe:

Wir betrachten die Grundgesamtheit der Haushalte in einer Stadt. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Haushalt k Kinder wohnen, sei pk mit k ∈ℕ. Wir wählen jetzt zufällig ein Kind aus der Grundgesamtheit aller Kinder und bezeichnen mit X die Anzahl aller Kinder, die in dem zugehörigen Haushalt leben.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvariablen.

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Bestimmen der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X

Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen XX zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen über die Verteilung der Kinder in Haushalten. Die Zufallsvariable XX steht für die Anzahl der Kinder, die in dem Haushalt leben, aus dem das zufällig ausgewählte Kind stammt.

Da pkp_k die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass ein zufällig gewählter Haushalt kk Kinder hat, ist die erste Annäherung anzunehmen, dass P(X=k)=pkP(X=k) = p_k. Dies ist jedoch nicht korrekt, da wir ein Kind und nicht einen Haushalt auswählen. Die Wahrscheinlichkeit, ein Kind aus einem bestimmten Haushaltstyp (mit kk Kindern) auszuwählen, ist proportional zur Anzahl der Kinder in diesen Haushalten.

Schritte zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion:

1. Betrachtung der Gewichtung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig ausgewählte Kind aus einem Haushalt mit kk Kindern stammt, hängt nicht nur von pkp_k ab, sondern muss auch die Tatsache berücksichtigen, dass Haushalte mit mehr Kindern eine höhere Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden.

2. Gewichtete Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, ein Kind aus einem Haushalt mit kk Kindern zu ziehen, ist proportional zu kpkk \cdot p_k. Das "Gewicht" jedes Haushalts kk in der Auswahl ist demnach kk.

3. Normalisierung: Um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erhalten, müssen wir diese gewichteten Wahrscheinlichkeiten normalisieren, sodass ihre Summe 1 ergibt. Dies geschieht, indem die gewichtete Wahrscheinlichkeit jedes Haushaltes durch die Summe aller gewichteten Wahrscheinlichkeiten geteilt wird.

Mathematisch ausgedrückt erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig gewählte Kind aus einem Haushalt mit genau kk Kindern stammt (P(X=k)P(X=k)):
P(X=k)=kpkj=1jpj P(X=k) = \frac{k \cdot p_k}{\sum_{j=1}^\infty j \cdot p_j}

Hierbei ist j=1jpj\sum_{j=1}^\infty j \cdot p_j die Summe der gewichteten Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Haushaltsgrößen, welche als Nenner dient, um die gewichtete Wahrscheinlichkeit eines Haushalts mit kk Kindern zu normalisieren.

Diese Formel basiert auf der Annahme, dass der Bereich der möglichen Kinderanzahlen in einem Haushalt mit kk beginnt, was ℕ umfasst (k{1,2,3,...}k \in \{1, 2, 3, ...\}).

Fazit:

Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=k)P(X=k) für die Zufallsvariable XX korrekt zu bestimmen, muss die anfängliche Wahrscheinlichkeit pkp_k jedes Haushalts entsprechend der Anzahl der Kinder in ihm gewichtet und über alle potenziellen Haushaltsgrößen normalisiert werden.
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