Term vereinfachen und Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Ich soll erst mal den folgenden Term vereinfachen:

1/n - 1/(n+1)

danach soll ich den vereinfachten Term benutzen um den Grenzwert von:

Summe von n = 1 bis ∞  (1/(n*(n+1))

zu bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht was ich hier vereinfachen soll. Ich habe nur den Hauptnenner bilden können:

((n + 1 - n) / (n * (n + 1)) = 1 / (n^(2) + n)

aber ich weiß nicht, wie ich damit den Grenwert bestimmen soll und wäre dankbar für einen Lösungsvorschlag.

MfG

Answer 1

∑ (n = 1 bis ∞) (1/(n·(n + 1)))

= ∑ (n = 1 bis ∞) (1/n - 1/(n + 1))

= (1/1 - 1/(1 + 1)) + (1/2 - 1/(2 + 1)) + (1/3 - 1/(3 + 1)) + ... + (1/∞ - 1/(∞ + 1))

= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/∞ - 1/(∞ + 1)

= 1 - 1/(∞ + 1)

= 1

Ich habe jetzt mal bewusst da das ∞ Zeichen benutzt. Das sollte man eigentlich nicht machen. Ich hoffe nur es ist so für dich verständlicher.

Comments

Danke dir für die Antwort:D

Answer 2

1 / (n^(2) + n)  ist doch genau das worüber die Summe läuft.

Das kannst du also durch   1/n - 1/(n+1) ersetzen und in

eine Summe von Differenzen aufteilen (Teleskopsumme) ,

die sich gegenseitig wegheben.

Ergebnis ist also 1

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 Danke für die Antwort:)

Answer 3

gelöscht (verlesen)

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