Tangente an eine Ellipse

Question

Aufgabe: Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse, die normal zur Gerade g sind

Ell: 3x²+4y²=336    , g: 6x+y=10

Problem/Ansatz:

… kann mir bitte jemand  die Rechenschritte erklären?

Answer 1

Die Steigung müsste ja das Reziproke vom Kehrwert sein ($6x+y=10 \Leftrightarrow y=-6x+10$). Also $t(x)=\frac{1}{3}x+n$. Außerdem ist $3x^2+4y^2=336$ umgestellt $y=f(x)=\sqrt{\frac{336-3x^2}{4}}$

Man könnte eventuell das GS lösen:

I. f(x)=t(x)

II. f'(x)=t'(x)

Berücksichtige dabei auch, dass die Ambiguität der Wurzel beim Umstellen der Ellipsengleichung vernachlässigt wurde und es zwei Lösungen gibt (einfach spiegeln)

Ich erhalte $n=\frac{2\sqrt{217}}{3}$ und $x=-8\sqrt{\frac{7}{31}}$

Answer 2

Ermittle Gleichungen jener Tangenten an die Ellipse, die normal zur Gerade g sind.
Ell: $3x^2+4y^2=336$       $g: y=-6x+10$        $m=-6$ 

orthogonale Steigung $m_o=\frac{1}{6}$

$f(x,y)=3x^2+4y^2-336$

$f_x(x,y)=6x$       $f_y(x,y)=8y$  

$f´(x)= -\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}$

$f´(x)= -\frac{6x}{8y}=-\frac{3x}{4y}$

$\frac{1}{6}=-\frac{3x}{4y}$    →    $y=-4,5x$  

Diese Gerade schneidet die Ellipse in den gesuchten Berührpunkten:

$3x^2+4\cdot (-4,5x)^2=336$

$x_1=2$    $y_1=-9$   → $t_1: \frac{y+9}{x-2}= \frac{1}{6}$

$t_1: y=\frac{1}{6}(x-2)-9$

$x_2=-2$    $y_2=9$   → $t_2: \frac{y-9}{x+2}=\frac{1}{6}$

$t_2: y=\frac{1}{6}(x+2)+9$