Formel von Kegel beweisen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass das Volumen eines Kegels allgemein mit folgender Formel zu berechnen ist:

$V = \frac{1}{3}·π·r^3 · \sqrt{\frac{360°^2}{α^2}-1}$

Wie löst man diese Aufgabe?

Comments

Die rechte gescheifte Klammer hat keinen
Gegenpart.
alpha ist der Steigungswinkel ?

---

Die rechte gescheifte Klammer hat keinen Gegenpart.
Lesen !  C. schrieb :  " √ = Wurzelanfang; } = Ende der Wurzel "

alpha ist der Steigungswinkel ?
Es ist derjenige Winkel, für den die Gleichung stimmt.

---

√ = Wurzelanfang; } = Ende der Wurzel

Es gibt in der mathematischen Notation ein Mittel um auszudrücken "Muss ausgerechnet werden bevor das daneben ausgerechnet wird". Dieses Mittel sind Klammern:

        V= 1/3*π*r³√((360°)²/α²-1).

Du brauchst also keine eigene Notation zu erfinden. Die sind auch bei Brüchen praktisch:

         $\frac{1}{3+1}$ = 1/(3+1) ≠ 1/3 + 1 = $\frac{1}{3}+1$.

---

Die Formel gilt, falls h=r·$\sqrt{\frac{360^2}{α^2}-1}$. Aber wieso sollte das gelten?

---

Aber wieso sollte das gelten?

Hast du denn noch nie vom Satz des Pythagoras gehört ?

Answer 1

Die Frage hier ist doch: "Was ist $\alpha$?"

Wenn man von einem Kegel die Mantelfläche zu einem ebenen Kreissektor abrollt ..

.. so wie hier auf dem Bild vom grünen Kegel die blaue Fläche abgerollt wurde, so ist $\alpha$ der Mittelpunktswinkel des blauen Kreissektors.

Sei $s$ die Mantellinie des Kegels, dann ist die Länge $L$ des Kreisbogens des Kreissektors$$L = 2\pi s \frac{\alpha}{360°}$$Und $L$ ist gleichzeitig der Umfang der Grundfläche des Kegels mit Radius $r$- also:$$L = 2\pi s \frac{\alpha}{360°} = 2\pi r \implies s = \frac {360°}{\alpha} r$$Nach Pythagoras ist$$h^2 = s^2 - r^2$$und somit wird aus$$V = \frac 13 \pi r^2 h = \frac 13 \pi r^2 \sqrt{s^2 - r^2} = \frac 13 \pi r^2 \sqrt{\frac{360°^2}{\alpha ^2}r^2 - r^2} = \frac 13 \pi r^3 \sqrt{\frac{360°^2}{\alpha ^2} - 1}$$

Comments

Hallo Werner,
schon interessant.
Tenor der Aufgabe :
Warum einfach wenns auch kompliziert geht.
Bei dir steht hinten r1, es muß glaube ich 1 heißen
mfg Georg

---

Bei dir steht hinten r1, es muß glaube ich 1 heißen

Ja natürlich. Danke für den Hinweis; habe ich korrigiert.

Tenor der Aufgabe :
Warum einfach wenns auch kompliziert geht.

Wie meinst Du das? Kennst Du eine einfacheren Weg die Richtigkeit der Formel zu zeigen? Dann nur her damit .... ;-)

---

Tenor der Aufgabe :
Warum einfach wenns auch kompliziert geht.
Ich meinte die Aufgabenstellung.

Als alpha habe ich den Winkel der
Seitenlinie vermutet.
Deine Lösung ist tiptop.

Ratschlag des Tages :
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.