Antwort mit KI erzeugt
Gegeben sei ein K-Vektorraum V . Weiter seien u, v, w ∈ V und k∈ K. Zeigen Sie
a) Aus \(u + v = w + v\) folgt \(u = w\). (Tipp: Addieren Sie \(-v\).)
Um zu zeigen, dass \(u = w\), beginnen wir mit der gegebenen Voraussetzung \(u + v = w + v\). Um diese Gleichung so umzuformen, dass \(v\) eliminiert wird, addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung \(-v\) (das additive Inverse von \(v\)):
\(
u + v + (-v) = w + v + (-v)
\)
Da \(v + (-v) = 0\), dem neutralen Element der Addition in \(V\), ergibt sich:
\(
u + 0 = w + 0
\)
Unter Nutzung der Eigenschaft, dass jedes Element plus das neutrale Element \(0\) gleich dem Element selbst ist, erhalten wir:
\(
u = w
\)
b) \(0 \cdot v = o\). Rechnen Sie hierzu \((0 + 0) \cdot v\) auf zwei Weisen aus.
Erste Weise:
\(
(0 + 0) \cdot v = 0 \cdot v
\)
Gemäß den Vektorraumaxiomen ist \(0 \cdot v\) das neutrale Element der Addition in \(V\), also \(o\).
Zweite Weise:
\(
(0 + 0) \cdot v = 0 \cdot v + 0 \cdot v
\)
Nehmen wir an, dass \(0 \cdot v\) irgendein Element in \(V\), sagen wir \(j\), wäre, dann hätten wir:
\(
j = j + j
\)
Subtrahieren wir \(j\) auf beiden Seiten, erhalten wir \(0 = j\), was bedeutet, dass \(0 \cdot v = o\).
c) \(k \cdot o = o\). Rechnen Sie hierzu auf zwei Weisen aus.
Erste Weise, direkt:
\(
k \cdot o
\)
Da \(o\) das neutrale Element der Addition in \(V\) ist, ist jedes skalare Vielfache davon ebenfalls \(o\).
Zweite Weise, indem wir die Definition von \(o\) als \(0 \cdot v\) nutzen:
\(
k \cdot (0 \cdot v) = (k \cdot 0) \cdot v = 0 \cdot v = o
\)
Dies zeigt, dass \(k \cdot o = o\) unabhängig vom Wert von \(k\).
d) Aus \(k \cdot v = o\) folgt \(k = 0\) oder \(v = o\). Unterscheiden Sie hierzu die Fälle \(k = 0\) und \(k ≠ 0\).
Fall \(k = 0\): Wenn \(k = 0\), dann ist \(0 \cdot v = o\), was direkt aus den Vektorraumaxiomen folgt, da das Skalarmultiplikationsaxiom besagt, dass das Multiplizieren eines Vektors mit dem Skalar \(0\) das neutrale Element der Addition in \(V\) ergibt, also \(o\).
Fall \(k ≠ 0\): Wenn \(k \cdot v = o\) und \(k ≠ 0\), müssen wir zeigen, dass in diesem Fall \(v\) das neutrale Element sein muss, also \(v = o\). Das folgt aus der Annahme, dass K ein Körper ist und jedes Element \(k ≠ 0\) ein multiplikatives Inverses \(k^{-1}\) hat. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung \(k \cdot v = o\) mit \(k^{-1}\), erhalten wir:
\(
k^{-1} \cdot (k \cdot v) = k^{-1} \cdot o
\)
Da \(k^{-1} \cdot k = 1\) (neutrales Element der Multiplikation in \(K\)) und \(1 \cdot v = v\), haben wir:
\(
v = o
\)
Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass aus \(k \cdot v = o\) folgt, dass entweder \(k = 0\) oder \(v = o\) sein muss.
