Seien V ein endlich-dimensionaler K -Vektorraum und U, W ⊆ V Untervektorräume. Zeigen Sie:

Question

Aufgabe:

Seien \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( U, W \subseteq V \) Untervektorräume. Zeigen Sie:
(a) \( \operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} V \) und \( \operatorname{dim} U=\operatorname{dim} V \) genau dann, wenn \( U=V \),
(b) \( \operatorname{dim}(U \cap W) \leq \operatorname{dim} U \), sowie \( \operatorname{dim}(U+W) \leq \operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W \).

Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe

Kann mir, wer bitte einen Ansatz zeigen

LG

Answer 1

Vermutlich habt ihr bewiesen den sog. Basisergänzungssatz:

Sei V ein K-Vektorraum, M eine linear unabhängige Teilmenge und E ein Erzeugendensystem von V. Wenn M keine Basis von V ist, dann lässt sich M durch Elemente aus E zu einer Basis von V ergänzen.

Für \( \operatorname{dim} U \leq \operatorname{dim} V \) ginge das dann so:

Sei dim(U) = n und dim(V) = m

==> Es gibt eine Basis B1 von U mit n Elementen und eine Basis B2 von V mit m Elementen.

==>  B1 ist linear unabhängig   B2 ist ein Erz.system von V

==> 1. Fall: Ist B1 eine Basis von V, dann hat V eine Basis mit n Elementen, also n=m.
      2. Fall B1 lässt sich durch Elemente von B2 zu einer Basis B3 von V ergänzen.
                  Dann hat B3 mehr Elemente als B1, also n<m.

             Jedenfalls also n≤m.