Zusammenhang zwischen der Berechnung des Gefälles durch Höhe/Strecke und der ersten Ableitung

Question

Ich bin derweil dabei ein Buch durchzuarbeiten und bin dabei auf folgendes gestoßen:

Gegeben sei die einfache Funktion $$ f(x)=x^{2} $$ und folgende Tabelle

Höhe	Strecke	Gefälle(Höhe/Strecke)
36	6	6
27	3	9
11	1	11
5,75	0,5	11,5
1,19	0,1	11,9
immer kleiner	immer kleiner	12

Unser Startpunkt für Strecke und Co ist die 36.

Dazu kommt folgender Text:

"Sie haben sicher erkannt, dass sich das Gefälle an den Wert 12 annähert. Also können wir sagen, dass das Gefälle an der Stelle –6 den Wert 12 hat. Als Mathematiker würden wir sagen, dass der Wert des Gradienten bzw. die erste Ableitung von an der Stelle –6 den Wert –12 besitzt. Damit haben wir intuitiv entdeckt, wie der Wert des steilsten Abstieges ermittelt wird."

Meine Frage ist jetzt bzw. das was ich nicht ganz verstehe: In welchem Zusammenhang steht die Tabelle und deren Werte zum Gefälle, das ich normalerweise durch die Ableitung berechne?

Ich hoffe ich konnte einigermaßen verständlich machen, was mir nicht ganz klar ist :)

Comments

Sollen Funktion  und Wertetabelle
zusammengehören ?
Das passt aber nicht z.B.
f ( 3 ) = 3^2 = 27 ???

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Danke für den Hinweis. Mein mapping von x und y auf Strecke und Höhe ist an dieser Stelle Blödsinn, da unser Startpunkt 36 ist. Ergänze eben diese wichtige Info!

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Okay ich hab meinen Denkfehler gefunden.

Euch fehlte folgende Info um mein Problem richtig zu verstehen (konnte kein Bild aus dem Buch hochladen). Ich versuch's in Worte zu fassen:

In der gezeichneten Parabel waren von Punkt(-6 / 36) ausgehend Vektoren eingezeichnet, die eben eine Strecke (siehe Tabelle) zu einem Punkt auf der Parabel führten.

Mein Denkfehler war also, dass sich das Gefälle also wohl auf diesen Vektor bzw. diese Gerade bezieht und nicht auf die Parabel bzw. auf den Punkt auf der Parabel zu dem der Vektor zeigt. Demnach hab ich die Tabelle durch den irreführenden Text den ich zitiert habe also einfach falsch interpretiert.

Answer 1

Ist es dann nicht verkehrtherum?

Nein, man nimmt doch immer

Höhenunterschied durch Horizontalunterschied, also

Differenz der y-Werte durch Differenz der x-Werte

Answer 2

Höhe: |f(x) - f(-6)|

Strecke: |x - (-6)|

Gefälle: Höhe / Strecke

Dann eine Tabelle für

x = 0

x = -3

x = -5

x = -5.5

x = -5.9

x = ... immer näher an -6 heran

Das ist aber schlecht gelöst vom Lehrer, das er hier mit den Beträgen rechnet.

Comments

Es geht auch

Höhe: |f(-6 + h) - f(-6)|

Strecke: |(-6 + h) - (-6)| = |h|

Für h setzt man dann die Strecke direkt ein.