(a) Für jedes Polynom f mit Koeffizienten in K gibt es genau ein Polynom g mit Koeffizienten in K, so dass f(x)−f(a) = (x−a)g(x).
Es ist f(x)-f(a) ein Polynom mit der Nullstelle a, denn wenn man a einsetzt hat man f(a)-f(a)=0.
Also enthält f(x)-f(a) den Linearfaktor (x-a), und somit ist ( f(x)-f(a) ) / (x-a) = g(x) .
Gibt es ein zweites Polynom h mit dieser Eigenschaft, dann wäre auch ( f(x)-f(a) ) / (x-a) = h(x) ,
also g = h.
(b) Die Abbildung l, die jedem Polynom f den Wert g(a) des zugehörigen Polynoms g zuordnet, ist eine Linearform auf dem Vektorraum K[x].
Seien f1 und f2 zwei Polynome aus K[x] und a ∈ K. Dann gilt also
f1(x)−f1(a) = (x−a)g1(x) und f2(x)−f2(a) = (x−a)g2(x), also I(f1)=g1(a) und I(g2)=g2(a)
Es ist (f1+f2)(x) - (f1+f2)(a) = (x-a)*h(x)
<=> f1(x)+f2(x) - f1(a)+f2(a) = (x-a)*h(x)
<=> (f1(x) -f1(a)) + ( f2)(x) -(f2)(a) ) = (x-a)*h(x)
<=> (x−a)g1(x) + (x−a)g2(x) = (x-a)*h(x)
<=> (x-a) *(g1(x) + g2(x)) = (x-a)*h(x)
Also g1(x) + g2(x)) = h(x)
und damit auch I(f1+f2)=h(a)=g1(a)+g2(a)=I(f1)+I(f2).
Entsprechend zeigt man auch I(k*f)=k*I(f) ,
und die Werte von I liegen in K,
also ist I eine Linearform.
