Trigonometrie — Längen außerhalb des Winkels berechnen?

Question

Aufgabe:

Ein kugelförmiger Erdgasspeicher mit einem Durchmesser von 18m wird von einem Betrachter (Augenhöhe a=1,8m) unter einem Öffnungswinkel β=44° und einem Erhebungswinkel α=38° angepeilt.

Berechnen Sie die Maße x und y! 

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man wie im Bild zu sehen ist: y und x?

Ich weiß, dass man zuerst rechtwinklige Dreiecke finden muss um überhaupt anzufangen aber weiter weiß ich auch nicht. Sitze schon wer weiß wie lange an diesem Ding dran ohne Erfolg...

Answer 1

Verbinde M mit den Berührpunkten der Tangenten.

Dann bekommst du 2 rechtwinklige Dreiecke mit einem

Winkel von 22° und darin gilt dann

sin(22°) = r / (x+r) = 9 / (x+9)

x+9 = 9 / sin(22°) ≈ 24    ==>  x = 15.

Wenn du von M senkrecht herunter zeichnest bis auf die

Parallel zum Boden in Augenhöhe des Betrachters hast du

ein rechtwinkliges Dreieck mit

Hypotenuse x+r und einem Winkel von 38° und einer Kathete

mit der Länge r+y-a.

Also sin(38°) = (r+y-a) / ( x+r) = (y+13,2) / 24

Das gibt y=7,6

Answer 2

Du hast sicher schon eine Zeichnung gemacht - oder?

Dann könnte einen auffallen, dass die Punkte \(BQM\) bzw. \(BMP\) jeweils ein rechtwinkliges Dreieck bilden (\(B\) für Beobachter). Es ist$$\sin22° = \frac{|MP|}{|BM|} \implies |BM| = \frac{|MP|}{\sin 22°} \approx 24,03\text{m}$$Dann ist die gesuchte Strecke \(x\)$$x = |BM| - |XM| = 24,03 \text{m} - 9 \text{m} = 15,03\text{m}$$und warum dann $$y = |BM| \cdot \sin 38° -9 \text{m} + 1,8 \text{m} \approx 7,59 \text{m}$$darfst Du selbst überlegen.

Gruß Werner