Bestimmen von Supremum, Infimum, Maximum und Minimum von einer Teilmenge

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum folgender Teilmengen der reellen Zahlen.

1. M = { exp(x) / x^x    Ι    x ∈ (0,∞)}

2. N = { sin ( lll x l - π/12 l - lxl + π/12 l )  l x ∈ ℝ }       ( l sollen Betragsstriche darstellen)

Problem/Ansatz:

Wie löse ich am besten diese Aufgabe?

vielen Dank im voraus

Answer 1

exp(x) / x^x   =  exp(x) / exp(x*ln(x)) = exp( x - x*ln(x) ) = exp( x*(1 -ln(x))

Und dann muss du x*(1 -ln(x)) für x gegen 0 und für x gegen unendlich betrachten.

x==>0  gibt  (1-ln(x)) / ( 1/x)  mit de Hospital: Grenzwert 0 .

x==>∞  x*(1 -ln(x))  geht gegen - ∞.

Und weil das ja in exp(…) steht hast du insgesamt die Grenzwerte

1 und 0 .   Und dann noch schauen, ob es zwischendurch Extremwerte gibt

f(x)=exp( x*(1 -ln(x))  ==>  f ' (x) = -ln(x) * exp( x*(1 -ln(x))

ist nur 0 bei x=1 und

f ' ' (1) = - e <  0, also rel. Max. bei x=1 und damit ist f(1)=e

das Maximum und Supremum der Menge,

inf ist 0 und Min gibt es nicht.

N:  Nimm hier f(x) = sin ( …. ) , wie es in der Menge steht.

 Für |x| > pi/12 steht da immer nur sin(0), also 0.

Für -pi/12 < x < pi/12 ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse und

im Negativen steigend und im Positiven fallend, also Max bei 0, und

wegen f(0)=pi/12 also: Max =sup = pi/12 un d Min = inf = 0 .