Bestimmen Sie die Abmessung einer Dose

Question

Aufgabe:

Typische Konservendose können modellhaft als Zylinder mit einem Volumen von 750 ml aufgefasst werden. Auch bestimmen Sie die Abmessung eine Dose die bei diesem vorgegebenen Volumen eine minimale Oberfläche in Klammern also einen möglichst geringen Materialverbrauch) aufweist.  Typische Konservendose können modellhaft als Zylinder mit einem Volumen von 750 ml aufgefasst werden.

bestimmen Sie die Abmessung einer Dose die bei diesem vorgegebenen Volumen eine minimale Oberfläche ( also einen möglichst geringen Materialverbrauch) aufweist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe nicht kann mir jemand die erklären?

Answer 1

Die Oberfläche ist  O = 2*r^2*pi + 2*pi*r*h

und das Volumen V = r^2 * pi * h.

Letzteres ist 750, also   750  = r^2 * pi * h

==>   h = 750/ (r^2 * pi ) . Oben einsetzen gibt O als

Funktion von r      O(r) = 2*r^2*pi + 2*pi*r* 750/ (r^2 * pi )

                                     = 2*r^2*pi + 1500/ r

Und von dieser Funktion suchst du das Minimum

( 1. Abl. gleich 0 etc.)  Ich komme auf etwa r=4,92

Comments

Vielen Dank aber wie bist du auf 4,92 gekommen

Also ich weiß, dass man die 1 Ableitung gleich null setzen muss also

F‘(r)= 4*pi*r-1500/r^2

4*pi*r-1500/r^2=0 

Und weiter komme ich nicht wie müsste ich denn anfangen?

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Hallo Lara,

4*π*r - 1500/r² = 0  | * r²

4*π*r³ - 1500 = 0  | + 1500

4*π*r³  = 1500 |  : (4π)$$r^3 = \frac {1500} {4π}\text{ }\text{ | 3. Wurzel}$$$$ r=  \sqrt[3]{\frac{1500}{4π}} ≈ 4,92$$

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Vielen Dank :)

Answer 2

Hier nur eine allgemeine Lösung

Nebenbedingung

V = pi·r^2·h
h = V/(pi·r^2)

Hauptbedingung

O = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2
O = 2·pi·r·(V/(pi·r^2)) + 2·pi·r^2
O = 2·pi·r^2 + 2·V/r

Extremstellen O' = 0

O' = 4·pi·r - 2·V/r^2 = 0
4·pi·r^3 - 2·V = 0
4·pi·r^3 = 2·V
r = (V/(2·pi))^(1/3)

h = V/(pi·r^2) = V/(pi·((V/(2·pi))^(1/3))^2) = (4·V/pi)^(1/3) = 2·r

Setze nur für V deinen Wert 750 ml = 750 cm³ ein und rechne das durch.