zeigen sie, dass das Polynom vier Nullstellen hat, und zerlegen sie p(x) in Linearfaktoren

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass das Polynom p(x)= 2x^4-57x^3-37x^2+228x+116 vier Nullstellen hat, und zerlegen sie p(x) in Linearfaktoren

Problem/Ansatz:

wie löse ich am besten diese Aufgabe ??

Answer 1

schreibe erstmal um:$$p(x)=2x^4+x^3-58x^3-29x^2-8x^2-4x+232x+116$$ Klammere \((2x+1)\) ein:$$p(x)=x^3(2x+1)-29x^2(2x+1)-4x(2x+1)+116(2x+1)$$$$p(x)=(2x+1)(x^3-29x^2-4x+116)$$ Klammere \((x-29)\) ein:$$p(x)=(2x+1)(x^2(x-29)-4(x-29))$$$$p(x)=(2x+1)(x-29)(x^2-4)$$ Dritte Binomische Formel:$$p(x)=(2x+1)(x-29)(x-2)(x+2)$$ Wir haben also vier reelle Nullstellen.

Comments

Dank schonmal für die Antwort !

Aber wie finde ich die Nullstellen jetzt genau heraus?

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sind die Nullstellen nun (-0.5; 29; 2; -2)?

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Ja, das sind die Nullstellen

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Hay, kannst du mir nochmals helfen?

nehmen wir mal an .. p(x) = 6x^4+67x^3+7x^2-43x+11

wie würde die Rechnung da aussehen ? Beim ausklammern durch 6 stehe ich vor dem problem, dass ich die 11 nich eingeklammert bekomme, sowie das die 43 negativ ist..

könntest du mir da bitte nochmals helfen?

Answer 2

2·x^4 - 57·x^3 - 37·x^2 + 228·x + 116 = 0

Man findet sehr schnell Nullstellen bei x = -2 und x = 2 und kann eine Polynomdivison machen

(2·x^4 - 57·x^3 - 37·x^2 + 228·x + 116) / (x - 2) = 2·x^3 - 53·x^2 - 143·x - 58

(2·x^3 - 53·x^2 - 143·x - 58) / (x + 2) = 2·x^2 - 57·x - 29

Jetzt kommt man schon mit der abc-Formel oder pq-Formel an die letzten Nullstellen

2·x^2 - 57·x - 29 = 0 --> x = -0.5 ∨ x = 29

Comments

Wenn die Nullstellen x_1,2 = ±2 bereits bekannt sind, kann man auch gleich durch x² - 4 dividieren.

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Kann man machen. Zumindest wenn man eine Polynomdivision anwendet. Wenn man das Horner Schema verwendet geht es z.B. nicht.

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Was für Polynomdivision spricht.

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Geschmackssache.

Ich überlasse dem Fragesteller die Wahl der bevorzugten Werkzeuge.