Bestimmen Sie die Umkehrfunktion rechnerisch

Question

Die folgende Funktion ist streng monoton steigend. Bestimmen
Sie die Umkehrfunktion rechnerisch. Bestimmen Sie zunächst den Definitionsbereich und den
Wertebereich der Funktion.

$$f ( x ) = 1 + \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { x + 1 } }$$

Answer 1

f ( x ) = 1 + √ x / √ ( x + 1 )

D  : x ≥ 0

f ( x ) = 1 + √ x / √ ( x + 1 )
y = 1 + √ x / √ ( x + 1 )
Umkehrfunktion
x = 1 + √ y / √ ( y + 1 )
x = 1 + √ [ y / ( y + 1 ) ]
Polynomdivision : y / ( y + 1 )
x = 1 + √ [ 1 - 1 / ( y + 1) ]
x - 1 = √ [ 1 - 1 / ( y + 1) ]  | quadrieren
( x - 1 ) ^2 = 1 - 1 / ( y + 1)
( x - 1 ) ^2 - 1 = -1 / ( y + 1) | *-1
1 - ( x - 1 ) ^2 =  1 / ( y + 1)
y + 1 = 1 / [ 1 - ( x - 1 ) ^2 ]
y = 1 / [ 1 - ( x - 1 ) ^2 ] -1

f ^(-1) ( x )  = 1 / [ 1 - ( x - 1 ) ^2 ] -1

Answer 2

y = 1 + √x / √(x + 1)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+y%3D1%2B√x%2F√(x%2B1)+for+x

x = (-y^2 + 2 y - 1) / ((y - 2) y)

Mit der Wolframalpha app kannst du dir sogar eine Step bei Step Lösung anzeigen lassen. Wo liegt denn genau dein Problem?

Answer 3

Hallo

 Definitionsbereich kannst du sicher. zur Umkehrfunktion musst du ja nach x auflösen, dazu quadriere nicht y sondern y-1 um die Wurzel los zu werden. danach ist es einfach.

Gruß lul

Answer 4

(y-1)^2 = x/(x+1)

(y-1)^2(x+1)-x = 0

ausmultiplizieren, x ausklammern und isolieren