Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 3

Question

Aufgabe: Betrachten Sie den Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 3, d.h

$$ \begin{array}{l}{\qquad \mathcal{P}_{3}=\left\{a_{0}+a_{1} x^{1}+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} : a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\}} \\ {\text { i.) Ist }\left\{3-x+9 x^{2}, 5-6 x+3 x^{2}, 1+1 x-5 x^{2}\right\} \text { eine linear unabhängige Teilmenge von } \mathcal{P}_{3} ?} \\ {\text { i.) Geben Sie eine Basis von } \mathcal{P}_{3} \text { an. }}\end{array} $$

Answer 1

i)

3 - x + 9·x^2
5 - 6·x + 3·x^2
1 + 1·x

3*II - I ; III

12 - 17·x
1 + 1·x

Es ist eine linear unabhängige Teilmenge

ii)

1 ; x ; x^2 ; x^3 ist eine Basis von P3