Antwort mit KI erzeugt
a) Allgemeine Gleichung für die Kantenlänge x des neuen Altars
Das Volumen \(V\) eines Würfels berechnet sich durch die Formel \(V = a^3\), wobei \(a\) die Kantenlänge des Würfels ist. Will man das Volumen verdoppeln, so gilt für das neue Volumen \(V_{neu}\), dass \(V_{neu} = 2 \cdot V = 2 \cdot a^3\).
Der neue Altar soll ebenfalls die Form eines Würfels haben, jedoch mit der Kantenlänge \(x\). Daher berechnet sich sein Volumen als \(V_{neu} = x^3\).
Setzen wir die beiden Ausdrücke für \(V_{neu}\) gleich, erhalten wir die Gleichung:
\(x^3 = 2 \cdot a^3\)
Um zur Kantenlänge \(x\) des neuen Altars zu gelangen, lösen wir diese Gleichung nach \(x\) auf:
\(x = \sqrt[3]{2 \cdot a^3}\)
\(x = a \cdot \sqrt[3]{2}\)
Das ist die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Kantenlänge \(x\) des neuen Altars.
b) Schnitt zweier geeigneter Funktionen \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\)
Um die Situation als Schnitt zweier Funktionen darzustellen, könnten wir die Funktionen wie folgt wählen:
\(f_1(x) = x^3\)
Diese Funktion repräsentiert das Volumen des neuen Altars in Abhängigkeit von der Kantenlänge \(x\).
\(f_2(x) = 2a^3\)
Da \(a = 1\) gesetzt wird, vereinfacht sich diese Funktion zu:
\(f_2(x) = 2\)
Diese Funktion repräsentiert das verdoppelte Volumen des alten Altars, welches konstant ist, da \(a\) gegeben und konstant ist.
Klassifizierung und Skizzierung für \(a = 1\):
- \(f_1(x) = x^3\) ist eine kubische Funktion, welche für positive \(x\) stetig und monoton steigend ist.
- \(f_2(x) = 2\) ist eine horizontale Linie (konstante Funktion) auf der Höhe 2.
Der Schnittpunkt dieser beiden Funktionen gibt die Kantenlänge \(x\) des neuen Altars an, die das Volumen verdoppelt, wenn \(a=1\).
c) Schnitt zweier geeigneter Relationen \(r_1(x)\) und \(r_2(x)\)
Die beiden Relationen können identisch zu den Funktionen gewählt werden, da sie das gleiche physikalische Problem beschreiben:
\(r_1(x) = \{(x, y) \mid y = x^3\}\)
\(r_2(x) = \{(x, y) \mid y = 2 \cdot a^3\}\)
Für \(a=1\) vereinfacht sich \(r_2(x)\) zu:
\(r_2(x) = \{(x, y) \mid y = 2\}\)
Klassifizierung und Skizzierung für \(a = 1\):
- \(r_1(x)\) repräsentiert die Menge aller Punkte \((x, y)\), bei denen das Volumen des neuen Altars durch \(y = x^3\) gegeben ist.
- \(r_2(x)\) repräsentiert die Menge aller Punkte \((x, y)\), bei denen das Volumen des verdoppelten alten Altars konstant \(2\) ist.
Die Skizzierung würde analog zu Teil b) aussehen, mit \(r_1(x)\) als kubischer Kurve und \(r_2(x)\) als horizontaler Linie bei \(y=2\). Der Schnittpunkt dieser beiden Relationen gibt wiederum die Kantenlänge \(x\) des neuen Altars für \(a=1\) an.
