Aufgabe Differentialgleichungen:
Eine genauere Analyse der Wasserflohpopulation ergibt, dass die beobachtete Oszillation der Populationsgröße auf die Wechselwirkung mit Fressfeinden zurückzuführen ist. Sei die Populationsgröße der Räuber \( y \), dann stehen die beiden Populationen in folgender Beziehung:
\( \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\alpha x-\beta y \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\gamma x-\delta y, \quad \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbf{R}^{+} \backslash\{0\} \end{array} \)
(Bsp) Geben Sie die Bedeutung und die Maßeinheit der Parameter \( \alpha, \beta, \gamma \) und \( \delta \) an.
(a) Falls \( \delta=\alpha \) gilt, lässt sich das gekoppelte Differentialgleichungssystem zu folgender Differentialgleichung für die Population der Wasserflöhe umformen:
\( \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+\left(\beta \gamma-\alpha^{2}\right) x=0 \)
Um was für eine Differentialgleichung handelt es sich (Homogenität, Linearität, Ordnung, Koeffizienten)?
(b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
(c) Skizzieren Sie die Lösung für \( t \geq 0, \beta \gamma-\alpha^{2}=-1 \) und die Anfangsbedingungen \( x(0)=0 \) und \( \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=2 \)
(d) Was stimmt diesmal nicht (vergleichen Sie Ihre Lösung und die Beobachtungen der Wasserflohpopulation)?
(e) Zusatzaufgabe: Skizzieren Sie die Lösung für \( t \geq 0, \beta \gamma-\alpha^{2}=1 \) und die Anfangsbedingungen \( x(0)=0 \) und \( \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=2 . \) Warum ist auch diese Lösung biologisch nicht sinnvoll?
Ansatz:
a)
+ 2. Ordnung, da d²x/dt²
+ nicht linear
+ konstante Koeffizienten
+ homogen
b)
Muss man hier den Exponentialansatz verwenden?
c)
erinnert mich an dieser Formel: sinh(x)=(exp(x)-exp(x))/2