Aufgabe Differentialgleichungen:
Bei einer Untersuchung des Wachstumverhaltens einer Population von Wasserföhen (Daphnia spec.) fällt Ihnen auf, dass das Wachstum nicht nur proportional zur vorhandenen Anzahl x von Wasserflöhen ist, sondern auch noch sinusförmig von der Jahreszeit abhängt (Temperatureinfluss). Zur Beschreibung des Populationswachstums entwerfen Sie deshalb die Differentialgleichung:
dtdx=csin(t)x,c∈R+
(a) Um was für eine Differentialgleichung handelt es sich (Homogenität, Linearität, Ordnung, Koeffizienten)?
(b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
(c) Skizzieren Sie für t≥0 und c=1 zwei spezielle Lösungen der Differentialgleichung, und zwar für die Anfangsbedingungen x(0)=100 und x(0)=−100.
(d) Sind die Lösungen biologisch sinnvoll?
Ansatz:
zu a)
+ 1. Ordnung, da dx/dt statt dx²/dt²
+ inhomogen
+ nicht linear
+ variable Koeffizienten