Linearität einer Abbildung prüfen. b) f: ℝ →ℝ, f(x)=2 ... d)f: [0,1] →ℝ, f(x)= 2x

Question

Welche der folgenden Abbildungen sind lineare Abbildungen zwischen
Vektorräumen? (Definitions- und Wertebereich seien mit den üblichen
Rechenoperationen versehen.) Begründe deine Antwort.

a) f: ℝ →ℝ, f(x)=2x

b) f: ℝ →ℝ, f(x)=2

c)f: ℝ →ℝ, f(x)=0

d)f: [0,1] →ℝ, f(x)= 2x

Ich habe Probleme, die Linearität zu prüfen, kann mir jemand Tipps geben und meine fehlerhafte Rechnung aus a) verbessern. Ich werde schnellstmöglich die Ergebnisse, der anderen Aufgaben nachreichen.

Ich muss a-d auf Homogenität f(a*x)=a*f(x) und Additivität: f(x+y)=f(x)+f(y) prüfen.

a) f(a*x)=2(a*x)=a*(2x) = a*f(x)

f(x+y)=2(x+y)=2x+2y= f(x)+f(y)

b)f(a*x)=???

Answer 1

b) f(ax) = 2 und das ist nicht a * 2 = a * f(x)

Answer 2

b)f(a*x)=???

Kommt nicht gut. 

Hier hast du schon ein Gegenbeispiel: 

2 = f(2) = f(2* 1) = 2 * f(1) = 2*2 = 4 ? Das ist Quatsch.

Comments

f: ℝ →ℝ, f(x)=0

c) f(a*x)=0=a*f(x)=a*0= 0

f(x+y)=0=0+0=f(x)+f(y)

Hier bin ich mir sicher, dass es linear ist, trotzdem fällt mir der Beweis schwer

d) f: [0,1] →ℝ, f(x)= 2x

Ist der Beweis nicht genauso, wie bei a) oder liege ich daneben? Ist a) überhaupt richtig?

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c) Deine Rechnung scheint mir Beweis genug.

d) ist linear wie die a) hätte ich auch gedacht.

Unterschied allenfalls

f( 5* 0.5) = 5* f(0.5) = 5

Aber f(2.5) ist gar nicht definiert. 

Was darf denn a überhaupt sein? 

oder f(0.75 + 0.75) = f(1.5) wäre ja gar nicht definiert. 

Aber f(0.75) + f(0.75) = 1.5 + 1.5 = 3

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Danke, du hast mir sehr geholfen. Ich wünsche dir einen guten Start in die kommende Woche :)

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d) ist nicht linear.

Lineare Abbildungen sind per Definition Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper (steht sogar in der Aufgabe). \([0,1]\) ist aber kein \(\mathbb R\)-Vektorraum.

Wenn man als Definitionsmenge keinen Vektorraum hat, machen doch die zu prüfenden Eigenschaften einer linearen Abbildung überhaupt keinen Sinn: Z.B. müsste für alle \(a\in\mathbb R\) und \(x\in[0,1]\) gelten, dass \(f(a\cdot x)=a\cdot f(x)\). Was ist denn z.B. bei \(a=5\) und \(x=1\)? Da hätte man auf der linken Seite dieser Gleichung \(f(5)\) stehen, was überhaupt nicht definiert ist.

Merke: Zu einer Abbildung gehören immer Definitions- und Wertemenge; diese sind entscheidend für die Eigenschaften der Abbildung. (!!!)

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NIck: Danke für die Berichtigung.