Wachstumsverhalten von Wasserflöhen (Differentialgleichung)

Question

Aufgabe Differentialgleichungen:

Bei einer Untersuchung des Wachstumverhaltens einer Population von Wasserföhen (Daphnia spec.) fällt Ihnen auf, dass das Wachstum nicht nur proportional zur vorhandenen Anzahl \( x \) von Wasserflöhen ist, sondern auch noch sinusförmig von der Jahreszeit abhängt (Temperatureinfluss). Zur Beschreibung des Populationswachstums entwerfen Sie deshalb die Differentialgleichung:

\( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=c \sin (t) x, \quad c \in \mathbf{R}^{+} \)

(a) Um was für eine Differentialgleichung handelt es sich (Homogenität, Linearität, Ordnung, Koeffizienten)?

(b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

(c) Skizzieren Sie für \( t \geq 0 \) und \( c=1 \) zwei spezielle Lösungen der Differentialgleichung, und zwar für die Anfangsbedingungen \( x(0)=100 \) und \( x(0)=-100 \).

(d) Sind die Lösungen biologisch sinnvoll?


Ansatz:

zu a)
+ 1. Ordnung, da dx/dt statt dx²/dt²
+ inhomogen
+ nicht linear
+ variable Koeffizienten

Comments

zu a) Wieso inhomogen? x' = c*f(t)*x -> x' -c*f(t)*x = 0

zu b) als Tipp zur rechten Seite: f(t) = sin(t) und h(x) = x, diese Funktionen können separat integriert werden.

Answer 1

Hi,

Teil a:

Die Dgl. ist linear, weil die Ableitungen nur in erster Potenz vorkommen. Die Koeffizienten sind nicht konstant da sie von der Zeit abhängen. Sie ist homogen und die Ordnung ist 1, da als Ableitung nur die erste Ableitung auftritt.

Teil b:

Die Dgl. löst man mittels trennen der Variablen.

$$ \frac { dx }{ dt }=c*sin(t)*x(t)  $$ folgt $$ \frac{dx}{x(t)}=c*sin(t)*dt $$ Auf beiden Seiten integrieren ergibt $$ ln(x(t))=-c*cos(t)+K $$ also $$ x(t)=e^{-c*cos(t)+K} $$ wobei K eine Integrationskonstante ist die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird.

Teil c:

Aus $$ x(t)=e^{-c*cos(t)+K} $$ folgt mit c=1 $$ x(0)=100=e^{-1+K} $$ also $$ K=ln(100)+1 $$ Damit ist die Lösung bestimmt.

Für den Anfangswert x(0)=-100 gibt es keine Lösung, da die Exponentialfunktion immer positiv ist und somit keine negativen Werte annehmen kann.

Teil d:

Wenn man sich die Lösungen aufzeichnet, stellt man fest, dass die Lösungskurve oszilliert. Somit stellen die Lösungen keine biologisch sinvollen Lösungen dar.