Wie überprüft man die Teilmenge auf Offenheit, Angeschlossenheit und die Ränder?

Question

Aufgabe:Überprüfen Sie die folgenden Teilmengen des R2 auf Offenheit und Abgeschlossenheit und bestimmen Sie den Rand der Menge. Skizzieren Sie ferner die Mengen.
 

  (c) C := {(x,y) ∈ R2; x2 +y2 < 1}∪{(x,y) ∈ R2; x = 1}

kann mir bitte jemand helfen und mir ungefähr erklären wie man das rechnet?

Answer 1

Das erste ist eine offene Kreisscheibe und das

andere die Gerade durch x=1 parallel zur y-Achse, also so:

~draw~ kreis(0|0 1);gerade(1|0 1|2);zoom(2) ~draw~

Die Kreisscheibe ist wegen …. <1 offen, also um jedem Punkt

aus der Kreisscheibe kann man eine Epsilon-Umgebung

angeben, die ganz in der Kreisscheibe liegt.

Die Gerade ist nicht offen; denn wenn man um einen

Punkt auf der Geraden eine  Epsilon-Umgebung legt,

enthält die immer auch Punkte, die nicht auf der Geraden liegen.

Die Vereinigung der beiden ist also auch nicht offen

Die Gerade ist zwar abgeschlossen; denn R^2 ohne die

Gerade ist offen, aber die Kreisscheibe ist nicht abgeschlossen,

die Vereinigung der beiden also auch nicht.

Um den Abschluss der Menge C zu erreichen, muss man

den Rand des Kreises, also die eigentliche Kreislinie

dazu nehmen. Diese Vereinigt mit der Geraden ergibt

den Rand der Menge C.