Dimension und Potenz einer Dreiecksmatrix mit λ auf der Diagonalen und 1 unter der Diagonalen

Question

Sei K ein Körper. Für n∈N und λ∈K definiere die Matrix J_n(λ) ∈M_n(K).(Obere Dreiecksmatrix mit λ auf der Diagonalen und 1 unmittelbar über der Diagonalen.)

Sei φ:Kⁿ→Kⁿ die lineare Abbbildung mit φ(v) =J_n(λ)v für v∈Kⁿ. Da J_n(λ) eine obere Dreiecks-matrix ist, gilt χ_φ= (λ−X)ⁿ; insbesondere ist λ der einzige Eigenwert von φ.

(a) Bestimmen sie die Dimensionen des Eigenraums sowie des verallgemeinerten Eigenraums zu λ.

Laut Vorlesung heißt die Matrix J_n(λ) Jordan-Block zum Eigenwert λ. Es ist dim E_φ(λ) =1, da J_n(λ) aus genau einem Block zum Eigenwert λ besteht und dieser Block hat die Größe nxn.

Die Dimension des verallgemeinerten Eigenraums ist dim H_φ(λ) = n, da (φ-λI)ⁿ(v)=0 ist. Außerdem braucht man n Vektoren, um J_n(λ) darstellen zu können.

Stimmt das so? Oder wie kann ich das sonst zeigen?

(b) Für n= 2,3,4, finden Sie Formeln für die Potenzen J_n(λ)^k, k∈N

Es ist J₂(λ)^k=((λ^k  kλ^k-1),(0 λ^k))

J₃(λ)^k= ((λ^k  kλ^k-1   (k*(k-1)/2)λ^k-2),(0  λ^k  kλ^k-1),(0  0  λ^k))

J₄(λ)^k=((λ^k   kλ^k-1   ?    ?),(0  λ^k  kλ^k-1  ?),(0  0  λ^k  kλ^k-1),(0  0  0  λ^k))

Kann mir hier auch jemand sagen, ob das so stimmt und wie ich J₄(λ) richtig berechne?

Comments

Kann mir niemand weiterhelfen oder sagen ob die a) so stimmt?