Differenzieren Sie die folgenden Funktionen an der Stelle x0 mittels der Definition der Ableitung (Grenzwert)

Question

Aufgabe:

f(x)=√x

Problem/Ansatz:

Kann mir das jemand lösen? Sollte die Wurzel aus x heißen.

Answer 1

$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to\ x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to\ x_0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to\ x_0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}\\ =\lim\limits_{x\to\ x_0}\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$$

Answer 2

Wie vorhin:

(√(x+h) - √x )   / h

erweitere mit (√(x+h) + √x ) gibt

(√(x+h) - √x ) *  (√(x+h) + √x ) / ( h  *  (√(x+h) + √x ) )

3. binomi. Formel im Zähler:

(x+h - x )   / ( h  *  (√(x+h) + √x ) )

h   / ( h  *  (√(x+h) + √x ) )

kürzen

1   /  (√(x+h) + √x )

für h gegen 0 gibt das

f ' (x) = 1 / (  √x + √x ) = 1 /  (2√x )