2 beschränkte nichtleere Mengen

Question

Seien \( A, B \subseteq \mathbb{R} \) nichtleer und beschränkt. Wir setzen \( A+B:=\{a+b \mid a \in A \& b \in B\} \).

Zeigen Sie, dass \( A+B \) beschränkt ist, und bestimmen Sie das Supremum von \( A+B \).

Ich weiß, dass das trivial ist, aber genau deswegen weiß ich nicht wie ich das zeigen soll...ich kann ja nicht einfach hinschreiben, dass es trivial ist. Hat da jemand eine Idee?

Answer 1

Beschränktheit bedeutet, es gibt eine obere Grenze und auch eine untere.

sup ist die kleinste obere und inf die größte untere Grenze.

Naheliegend ist es, sup(A), sup(B), inf(A) und inf(B) zu verwenden.

Zum Nachweis der Beschränktheit ist es dann nur ein Kathensprung, denn es reicht ja zu zeigen, dass

a+b <= sup(A)+sup(B) für alle a aus A und b aus B

und entsprechendes fürs Infimum.

sup(A+B) soll nur angegeben werden (das steht schon fast da).

Etwas umständlicher wäre wohl, zu beweisen, dass die entsprechende Zahl auch das Suprenum von A+B ist (das würde ich wohl als Widerspruchsbeweis aufschreiben, aber das sit ja auch gar nicht verlangt, oder?)

Ich hoffe, das war nicht zu kryptisch, sondern hat etwas geholfen.

L.G.

Bräsig