Antwort mit KI erzeugt
Konvergenz der Folge \(a(n)=\frac{(-1)^n}{8n-7n}\)
Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck für \(a(n)\). Da \(8n-7n = n\), haben wir:
\(a(n) = \frac{(-1)^n}{n}\)
Um die Konvergenz zu prüfen, nutzen wir das Konzept des Grenzwertes. Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen einen Grenzwert \(L\), wenn für jede positive Zahl \(\varepsilon\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass für alle \(n > N\) die Ungleichung \(|a_n - L| < \varepsilon\) erfüllt ist.
Ein Blick auf die Folge \(a(n) = \frac{(-1)^n}{n}\) zeigt, dass sie mit wachsendem \(n\) gegen 0 geht, unabhängig davon, ob \(n\) gerade oder ungerade ist, da der Nenner \(n\) immer größer wird und der Zähler \(|-1|^n\) immer \(1\) bleibt, sodass der Bruch insgesamt immer kleiner wird. Der Grenzwert \(L\) ist also 0.
Formal können wir argumentieren, dass für jedes \(\varepsilon > 0\), wir ein \(N\) finden können, so dass für alle \(n > N\), \(|a(n) - 0| < \varepsilon\). Da \(|a(n) - 0| = |\frac{(-1)^n}{n}|\), und der absolute Wert von \((-1)^n\) immer 1 ist, haben wir \(|\frac{(-1)^n}{n}| = \frac{1}{n}\). Es wird klar, dass für genügend große \(n\), \(\frac{1}{n}\) kleiner als jedes \(\varepsilon > 0\) sein kann. Daher konvergiert die Folge gegen 0.
Konvergenz der Folge \(a(n) = \frac{n^5}{n!}\)
Für die Folge \(a(n) = \frac{n^5}{n!}\) müssen wir betrachten, wie \(n^5\) im Vergleich zu \(n!\) wächst, wenn \(n\) zunimmt.
Die Faktorielle \(n!\) wächst schneller als jede Potenz von \(n\) für genügend große \(n\), weil das Produkt von Zahlen bis \(n\) exponentiell zunimmt. Das kann man wie folgt zeigen:
Für \(n > 5\) haben wir \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1\), was für genügend große \(n\) durch die ersten sechs Terme die Potenz \(n^5\) deutlich übersteigt, da die Multiplikation der Faktoren über \(n^5\) hinausgeht.
Um den Grenzwert von \(a(n) = \frac{n^5}{n!}\) zu finden, können wir argumentieren, dass da \(n!\) schneller als \(n^5\) wächst, \(a(n)\) gegen 0 konvergiert, wenn \(n\) gegen Unendlich geht. Es bedeutet, dass der Zähler \(n^5\) im Vergleich zum Nenner \(n!\) immer unbedeutender wird, was die Folge dazu bringt, gegen 0 zu konvergieren.
Also, beide gegebenen Folgen konvergieren gegen 0.
