Winkelhalbierende berechnen, wo nur 3 Eckpunkte gegeben sind?

Question

Ich weiß zwar was eine Winkelhalbierende ist, allerdings nicht wie man sie formal berechnet. Ich habe ein Dreieck_ABC gegeben mit den Punkten A(-15|0), B(21|0), C(0|20). Ich soll jetzt den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden berechnen. Kann mir jemand erklären, wie ich da vorgehe?

Answer 1

Zeichne einen Kreis um A mit Radius b. Der Kreis schneidet c im Punkt D. Mit Pythagoras kannst du b = 25 berechnen (verwende dazu das Dreieck AOC, wobei O der Ursprung ist). Also hat D die Koordinaten (10 | 0).

Die Winkelhalbierende von α verläuft durch A und durch den Mittelpunkt der Strecke CD. Bestimme die Funktionsgleichung dieser Winkelhalbierenden.

Bestimme analog dazu die Funktionsgleichung der Winkelhalbierenden von β.

Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen.

Comments

Also hast du quasi das Dreieck gleichschenklig gemacht (indem du den Punkt D gesetzt hast), sodass du einfach den Mittelpunkt der gegenüberliegendes Seite (CD) hast, wodurch die WH verläuft?

Frage: Wie kommst du auf D(10 | 0)?

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Also hast du quasi das Dreieck gleichschenklig gemacht

Ja

Wie kommst du auf D(10 | 0)?

Das Dreieck AOC hat Katheten der Länge 15 und 20. Die Hypotenuse AC hat daher nach dem Satz des Pythagoras die Länge √(15² + 20²) = 25. Wegen |AC| = |AD| und A = (-15 | 0) muss dann D = (10 | 0) sein.

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Ich bin so vorgegangen wie du gesagt hast und komme auf:

w_alpha = (-15 | 0) +. r *(2 | 1). @Der_Mathecoach (Siehe nächster Kommentar) hat eine andere Geradengleichung raus... Ist meine falsch?

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Die Stützvektoren sind gleich. Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander. Also andere Geradengleichung, aber die gleiche Gerade.

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Darauf hätte ich auch kommen können, sorry :D. Aber ich habe die Aufgabe jetzt. gelöst und komme auf den Schnittpunkt (-15 | 0), was gleichzeitig der Punkt A ist. Ist das möglich, dass sich alle Winkelhalbierenden im Punkt A schneiden?

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Ist das möglich, dass sich alle Winkelhalbierenden im Punkt A schneiden?

Bei einem "ordentlichen" Dreieck geht das nicht. Das hieße nämlich, dass alle drei Ecken des Dreiecks auf der gleichen Gerade liegen. Und das bezeichnet man dann nicht mehr als Dreieck.

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biette löschen

Answer 2

Weißt du wie man eine Winkelhalbierende konstruiert ?

Dieses bildest du einfach mathematisch nach.

Damit ergibt sich die Winkelhalbierende bei A z.B. mit

X = [-15, 0] + r·[1.6, 0.8]

Comments

dass der Ortsvektor vom Punkt A (-15 | 0) der Stützvektor der Gerade ist weiß ich. Aber wie kommst du auf den Richtungsvektor?

Wäre echt toll, wenn du das erklären könntest :)

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Ich habe nicht ohne Grund folgende Frage gestellt:

Weißt du wie man eine Winkelhalbierende konstruiert ?

Ich hege die Vermutung, dass du es noch nicht weißt.

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Jetzt habe ich´s. Danke :)

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Du hast das mit der Methode von Oswald gemacht. Das finde ich persönlich umständlicher.

Einfacher geht es meiner Meinung nach so:

Winkelhalbierende bei A
X = A + r*(AB/|AB| + AC/|AC|)
X = [-15, 0] + r·([36, 0]/|[36, 0]| + [15, 20]/|[15, 20]|) = [-15, 0] + r·[1.6, 0.8]

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AB/|AB| + AC/|AC|
[36, 0]/|[36, 0]| + [15, 20]/|[15, 20]|

Was machst du hier genau? Du teilst, aber wie teilst du ?

Mit: 36/36 + 15/15 = 2

       0        + 20/20 = 1

komme ich theoretisch auch auf ein Vielfaches von (1.6, 0.8)....

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Der Betrag eines Vektors ist wie folgt definiert

|[a, b]| = √(a^2 + b^2)

Man teilt einen Vektor durch seine Länge um ihn auf die Länge 1 zu normieren.

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Das finde ich persönlich umständlicher.

Sie ist umständlicher. Weil sie mit weniger Vorwissen auskommt.

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Sie ist umständlicher. Weil sie mit weniger Vorwissen auskommt.

Weniger Vorwissen? Meine Formel bildet das nach, was man zur Konstruktion der Winkelhalbierenden in der 7. Klasse gelernt hat.

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Man benötigt aber Vektorrechnung.

Answer 3

Kannst du auch vektoriell machen: Z.B. für Gamma:

Die Vektoren CA und CB berechnen gibt

CA = -15   hat also die Länge 25
         -20

CB = 21      Länge 29
         -20

Du brauchst aber für die Richtung der Winkelhalbierenden

zwei gleichlange, Also etwa

29* -15   +     25 *   21    =        90
       -20                   -20          -1080

oder eben      1
                   -12

und dann ist die Winkelhalbierende durch C

x=  0      +  r *     1
     20                 -12

Comments

Der_Mathecoach teilt durch die Längen um sie zu normieren. Du widerum multiplizierst mit der Länge des jeweils anderen. Machst du das, um sie auf dieselbe Länge zu bringen? Quasi wie Brüche auf denselben Nenner bringen?

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So ist es !  Dann habe ich nicht sofort Bruchzahlen.

Answer 4

Ich habe ein Dreieck ABC gegeben mit den Punkten A(-15|0), B(21|0), C(0|20). Ich soll jetzt den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden berechnen. Kann mir jemand erklären, wie ich da vorgehe?

Es gibt noch einen anderen Ansatz - man muss allerdings wissen, dass jede Winkelhalbierende die gegenüberliegende Dreiecksseite im Verhältnis der anliegenden Seiten teilt.

Wegen AB=36 und AC=25 teilt w_α die Seite BC im Verhältnis 36:25 und damit

im Punkt (\(\frac{25\cdot 21}{61}\),\(\frac{36\cdot 20}{61}\)).

Eine der Winkelhalbierenden ist also eine Gerade durch die Punkte  (\(\frac{25\cdot 21}{61}\)|\(\frac{36\cdot 20}{61}\)) und (-15|0).

Wegen BC=√841=29 kannst du entsprechen AB im Verhältnis 25:29 oder AC im Verhältnis 29:36 teilen, womit du zwei Punkte für eine weitere Winkelhalbierende hast (anschließend Schnittpunktbestimmung).

Comments

Dann würde ich eventuell gleich die Formel für den Mittelpunkt des Inkreises nehmen

https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis

Hier mit Google Tabellen gerechnet