Beweisen oder widerlegen, dass n^(3) ∈ O( (n+1)^(2) * √(n+2) ) mit O - Notation

Question

Aufgabe:

ich soll beweisen, dass    n^(3) ∈ O( (n+1)^(2) * √(n+2) ) stimmt oder widerlegen.

leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter, weil ich nicht weiß wie das gehen soll und Aufgaben dieser Art werden auch in der Klausur vorkommen. Deshalb bitte ich euch um Hilfe.

MfG

Answer 1

Es ist (n+1)² < (n+2)².

Also ist (n+1)² · √(n+2) < (n+2)² · √(n+2) = (n+2)^2,5.

Es genügt also zu zeigen, dass es für jedes c ein N gibt, so dass n³ > c·(n+2)^2,5 für alle n > N ist.

Für n > 2 ist 2n > n+2. Es genügt also zu zeigen, dass es für jedes c ein N gibt, so dass n³ > c·(2n)^2,5 für alle n > N ist.