Zeige, dass lim (1-1/n^2) gegen 1 läuft für n → ∞

Question

Aufgabe:

Z.z

(1-1/n^2)^n=1

Hinweis: Bernolische Ungleichung

Problem/Ansatz:

Meine Idee ist: (1-1/n^2)^n=1 als ((1-1/n)*(1+1/n))^n =1 zu schreiben und da ich weiß, dass (1+1/n)=e ist (wir haben letzte Woche diese bewiesen) kann ich (1-1/n)= -e sagen?  und e*(-e)=1?

Comments

Hast du die 4) mittlerweile verstanden?

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nee... ich habe noch nicht angefangen. Bin heute sehr faul...

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die ist wirklich selten einfach, man muss bei vielen gar nicht nachdenken.

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okai.. sieht aber nicht so aus. bist du schon damit fertig?

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Jo, habs gemacht.

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Brauche deine Hilfe :)ich

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Vom Duplikat:

Titel: Grenzwert beweisen mit der Bernoullischen Ungleichung

Stichworte: analysis,grenzwert,ungleichungen

Aufgabe:

Zeigen Sie:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1-\( \frac{1}{n^2} \))ⁿ  =1

Problem/Ansatz:

Als Hinweis hatten wir die Bernoullische Ungleichung bekommen, ich habe mich daran versucht aber bin mir sehr unsicher ob ich das richtig gemacht habe.

Erstmal habe ich folgendes gemacht:

1-\( \frac{1}{n^2} \) = \( \frac{n^2}{n^2} \) - \( \frac{1}{n^2} \) = \( \frac{n^2-1}{n^2} \)

\( \frac{n^2-1}{n^2} \) ≤ 1 für n gegen ∞

Also ist auch (1-\( \frac{1}{n^2} \))ⁿ ≤ 1ⁿ (Hier habe ich einfach beide Seiten der Ungleichung hoch n genommen)

Bernoullische Ungleichung:

x∈(-1,∞)\{0} und n∈ℕ, n>1 gilt:

(1+x)ⁿ ≥ 1+nx

Für x habe ich -\( \frac{1}{n^2} \) gewählt, für p=1+x und x=p-1

pⁿ ≥ 1+n(-\( \frac{1}{n^2} \))

pⁿ ≥ 1-\( \frac{1}{n} \)

==> 1-\( \frac{1}{n} \) ≤(1-\( \frac{1}{n^2} \))ⁿ ≤ 1ⁿ

Ist meine Herangehensweise richtig oder habe ich einen Fehler gemacht?

Grüße und danke für die Aufmerksamkeit

Answer 1

(1 - 1/n^2)^n = 1

(1 + x)^n ≥ 1 + n·x mit x = -1/n^2

(1 - 1/n^2)^n ≥ 1 + n·(-1/n^2)

(1 - 1/n^2)^n ≥ 1 - 1/n

für n --> ∞ ergibt sich daher

(1 - 1/n^2)^n ≥ 1 - 0

Eine Zahl etwas kleiner als 1 kann hoch unendlich aber nie größer als 1 werden oder?

Also gilt auch

(1 - 1/n^2)^n ≤ 1

Und damit letztendlich auch

(1 - 1/n^2)^n = 1

wohlgemerkt für n → unendlich das ich nicht immer dazuschreibe.

Comments

Super!!! Eigentlich ganz simpel.

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schön! vielen Dank

Answer 2

den Tipp mit der Bernoullischen Ungleichungen verstehe ich nicht. Allerdings kannst du das Einschließungskriterium verwenden:$$e^{\frac{1}{n}}\geq \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\geq 1-\frac{1}{n}$$

Die Grenzwerte der äußeren Grenzen sollte klar sein?!

Comments

ja,  den Tipp verstehe ich auch nicht. Das stand beim Aufgabenblatt so.

danke für deine Antwort.

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Ich weiß, ich muss das auch bearbeiten ;-). Wir hatten mal gezeigt, dass für alle k in den ganzen Zahlen lim ^n√n^k=1 für n gegen unendlich. Also ist auch im ^n√e^1=1 für n gegen unendlich.

1+1/n ist klar. 1/n ist eine Nullfolge und dann bleibt halt noch die Konstante Zahl 1.

Also haben beide den Grenzwert eins, nach dem Enschließungskriterium muss dann auch der Ausdruck in der Mitte gegen 1 laufen.... OK?

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:)

hast du die 4 schon?

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Die Folge ist falsch.

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Nein, bei der juckt es mich nicht so sehr in den Fingern - aber die ist doch über die Definition heute leicht machbar ....

zebra :-)

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Die Folge ist falsch.

Du schon wieder :( - bitte direkt mit Einwand.

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Ein Vorzeichen ist falsch.

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bei der Aufgabenstellung?

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Nein, in meiner Antwort. Habe den Tippfehler nun ersetzt.

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Dann stimmt die Ungleichung nicht mehr.

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Jetzt gibt es glaube ich keine Einwände mehr...