Finden Sie eine Folge a(n), sodass lim n→∞ a(n) = 0, aber (1/a(n)) nicht bestimmt divergent gegen ∞ ist.

Question

Aufgabe:

Sei a(n) eine Folge mit a(n) != 0 für alle n.
(a) Zeigen Sie: Ist lim n→∞ a(n) = ∞ oder −∞, dann gilt lim n→∞ (1/a(n)) = 0.
(b) Finden Sie eine Folge a(n), sodass lim n→∞ a(n) = 0, aber  (1/a(n))  nicht bestimmt divergent
gegen ∞ ist.

Problem/Ansatz:
Ich würde mich über eure Hilfe freuen

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: Ist lim n→∞ an = ∞ oder −∞, dann gilt limn→∞

Stichworte: divergenz

Aufgabe:

Sei (an) eine Folge mit an (ungleich)0 für alle n.
(a) Zeigen Sie: Ist lim n→∞ an = ∞ oder −∞, dann gilt limn→∞
1
an
= 0.
(b) Finden Sie eine Folge (an), sodass lim n→∞ an = 0, aber ( 1/an) nicht bestimmt divergent ist

---

Deine Frage inkl. Antwort wurde hierhin umgeleitet. Bitte studiere die vorhandene Diskussion.

Answer 1

Bei (b) versuch mal a(n) = (-1)/n, oder, falls das so nicht gemeint sein sollte, a(n) = (-1)ⁿ/n.

Comments

Können Sie mir sagen warum das gelten soll?

Answer 2

Hallo

steht da wirklich "Sei a(n) eine Folge mit a(n) != 0 für alle n." dann ist das die konstante Folge 0,0,0,....,0 usw.  soll da etwa stehen ≠0?

1, musst du aus der Def, von lim=oo und lim =0 folgern, schreib die mal auf!

2. a_n=(-1/2)^n  geht gegen 0 für n->oo 1/an=(-2)^n geht  nicht gegen +oo und nicht gegen -oo

Gruß lul

Comments

Es steht wirklich ≠ aber ich weiß es nicht wie man das schreibt lol.

Answer 3

lim n→∞ a_n = ∞ oder −∞, dann gilt limn→∞  a_n = -∞

==>   limn→∞  |an |= ∞

==>  Für alle c>0 gibt es ein N mit n>N ==>  |a_n| > c

Sei nun ε>0 . Dann ist c = 1/ε > 0 und es gilt :

                  Es gibt ein N mit n>N ==>  |an| >  c = 1/ε

                           ==>    | 1/a_n | < ε

                           ==>     | 1/an   - 0   | < ε

Also nach Def. des Grenzwertes:  1/a_n hat Grenzwert 0.

b)    a_n = (-1)^n / n