Zeigen Sie, dass jeder Untervektorraum U eines K-Vektorraums V ein Komplement besitzt und zwar

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass jeder Untervektorraum U eines K-Vektorraums V ein Komplement besitzt und zwar
im folgenden Sinn: Zu jedem Untervektorraum U ⊂ V existiert ein Untervektorraum W ⊂ V , für
den gilt: U + W = V und U ∩ W = {0}.

Problem/Ansatz:

Wie ?

Answer 1

Sei \(\mathcal{B}_U\) eine Basis von \(U\).

Sei \(\mathcal{B}_V\) eine Basis von \(V\) mit \(\mathcal{B}_U\subset\mathcal{B}_V\).

Dann ist \(\mathcal{B}_V\setminus\mathcal{B}_U\) eine Basis von \(W\).

Comments

Merci beaucoup !

Answer 2

Hallo :-)

Nutze den Fakt, dass jeder \(\mathbb{K}\)-Vektorraum eine Basis hat.

Comments

Ok, mach ich.