Bestimme unter allen Rechtecken mit Flächeninhalt A=4, den mit dem geringsten Umfang

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie unter allen Rechtecken mit Flächeninhalt A=4, den mit dem geringsten Umfang

Mir fehlt hier irgendwie der komplette Ansatz, wie ich vorgehen soll :/

Answer 1

Hauptbedingung: Umfang: U = 2a + 2b

Nebenbedingung: Flächeninhalt: A=a*b=4 -> aufgelöst nach b: b=4/a

Eingesetzt in die Zielfunktion: Z(a)=2a + 2*(4/a)

Nun die Extrema der Funktion bestimmen: Z'(a) = 0 -> a₁ = 2, a₂ = -2

Z''(2) = 2 ist > 0, weshalb für a=2 ein Minimum existiert.

b bestimmen: 2*b = 4 ⇔ b=2

Also existiert ein Quadrat.

Comments

Meine Güte ist das trivial :D

Vielen Dank!

EDIT:

Verstehe ich das richtig, dass ich zwei Rechtecke, bzw. in dem Fall Quadrate, habe? Wenn also nach dem größtmöglichem Umfang gefragt wäre, würde ich nach dem Maxima suchen, in dem Fall b=-2?

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Bei gegebenem Flächeninhalt hat ein Quadrat unter den Rechtecken den geringsten Umfang.

b=-2 macht keinen Sinn, da die Länge als Dimension nicht negativ sein kann.

Wenn man sich allerdings die Zielfunktion mal plottet, erkennt man, dass der Umfang maximal wird, wenn eine Seitenlänge gegen null läuft.

Z.B. a=2, b=2: A=4, U=8;
a=0.1, b=40: A=4, U=80.2;
a=0.0001, b=40000: A=4, U≈80000