Gesamtinhalt der zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse

Question

Aufgabe:

f(x)=x^3-x^2-2x

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man den Gesamtinhalt der zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen Flächenstücke?

Ich werde für die Antwort sehr dankbar sein!

Comments

Bestimme zunächst die Nullstellen von f, um die Integrationsgrenzen zu bekommen.

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zur Veranschaulichung:

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Vielen Dank !

Answer 1

zunächst Nullstellen berechnen, bzw. Schnittpunkte mit der x - Achse: f(x) = 0

$$ x^3 - x^2 - 2x = 0 \\ \Longleftrightarrow x\cdot \left(x^2 - x - 2 \right) = 0 \\ \quad \Longrightarrow x_{1} = 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ \quad \Longrightarrow x_{2} = -1 \vee x_{3} = 2 $$

Nun integrierst du jeweils zwischen den Nullstellen:

$$ A1 = \int_{-1}^{0} \left(x^3 - x^2 - 2x \right)dx = \frac {5}{12} \\ A2 = \int_{0}^{2} \left(x^3 - x^2 - 2x \right)dx = - \frac 83 \\ \Longrightarrow A = |A1| + |A2| = \frac {5}{12} + \frac 83 = \frac {37}{12} FE $$

Comments

Wenn A1 und A2 die gerichteten Flächeninhalte sind dann sollte man am Ende die Beträge addieren

A = |A1| + |A2|

Das nur zur formalen Schreibweise. Wurde ja richtig gerechnet.

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Klar, Danke für den Hinweis :)