Antwort mit KI erzeugt
Rechenregeln aus den Körperaxiomen ableiten
Zunächst ein Überblick über die relevanten Körperaxiome für diese Aufgaben:
1.
Assoziativität der Addition und Multiplikation.
2.
Kommutativität der Addition und Multiplikation.
3. Existenz von
neutrale Elemente: 0 für Addition und 1 für Multiplikation.
4. Jedes Element hat ein
additives Inverses (\(-a\)) und jedes Element ungleich 0 ein
multiplikatives Inverses (\(a^{-1}\)).
5.
Distributivgesetz: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\).
Nun zu den spezifischen Aufgaben:
a) -a = (-1)•a
Die Behauptung \( -a = (-1) \cdot a \) lässt sich wie folgt beweisen:
Wir nutzen das Distributivgesetz und die Eigenschaft des additiven Inversen:
\(
0 = 0 \cdot a = (1 + (-1)) \cdot a = 1 \cdot a + (-1) \cdot a = a + (-1) \cdot a
\)
Da das additive Inverse \( -a \) diejenige Zahl ist, die zu \( a \) addiert 0 ergibt, folgt aus \( a + (-1) \cdot a = 0 \), dass \( -a = (-1) \cdot a \).
b) e = 1
Angenommen \( a \cdot e = a \) für alle \( a \in K \). Um \( e = 1 \) zu beweisen, betrachte die Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen von \( a \) (\(a \neq 0\)):
\(
a \cdot e = a \implies a^{-1} \cdot (a \cdot e) = a^{-1} \cdot a \implies (a^{-1} \cdot a) \cdot e = 1 \cdot e \implies 1 \cdot e = 1 \implies e = 1
\)
c) (-a) • (-b) = a • b
Zuerst zeigen wir, dass \((-1) \cdot (-1) = 1\). Aus Teil a) wissen wir, dass \(-1 = (-1) \cdot 1\). Dann folgt:
\(
-1 \cdot (-1) = (-1) \cdot (-1) \cdot 1 = (-1) \cdot (-1) = 1
\)
Denn \(-1\) ist das additive Inverse zu \(1\), und wenn man \(1\) und \(-1\) multipliziert, erhält man die Definition von \(-1\), die additiv zu \(1\) ist, um \(0\) zu geben.
Nun, um \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b\) zu zeigen, verwenden wir das zuvor Gezeigte:
\(
(-a) \cdot (-b) = (-1) \cdot a \cdot (-1) \cdot b = (-1) \cdot (-1) \cdot a \cdot b = 1 \cdot a \cdot b = a \cdot b
\)
d) b = c
Gegeben ist, dass \( a \in K \setminus \{0\} \) und \( ab = ac \). Um zu zeigen, dass \( b = c \), subtrahieren wir auf beiden Seiten \( ac \):
\(
ab - ac = 0 \implies a(b - c) = 0
\)
Da \( a \neq 0 \) und Körper keine Nullteiler haben (wenn \( xy = 0 \) in einem Körper, dann muss entweder \( x = 0 \) oder \( y = 0 \)), muss \( b - c = 0 \) sein. Daher:
\(
b - c = 0 \implies b = c
\)
Das zeigt, dass unter den gegebenen Bedingungen, wenn \( ab = ac \), dann zwingend \( b = c \) folgt.
