Dezimaldarstellung N:= a_r a_r−1 . . . a_2 a_1 a_0 . Beh: N durch 4 teilbar gdw a_1a_0 durch 4 teilbar.

Question

Sei N eine naturliche Zahl, welche die Dezimaldarstellung
N = a_r*a_r−1 . . . a_2*a_1*a_0 ,
besitzt. Hier sind ai 2 {0, 1, 2, . . . , 9} und r 2 N, r # 1.
Behauptung: N ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die 2-stellige Zahl a_1a_0 durch
4 teilbar ist:
4|N () 4|a1a0
(a) Prufen Sie die Behauptung fur N = 1312 .
(b) Beweisen Sie die Behauptung im allgemeinen Fall.

Answer 1

Ich nehme an, dass in der Darstellung  

N = a_r*a_r−1 . . . a_2*a_1*a_0

keine " * " gehören, dass N also so ausseht:

N = a_r a_r−1 . . . a₂ a₁ a₀

und dass dieser Satz:

Hier sind ai 2 {0, 1, 2, . . . , 9} und r 2 N, r # 1.

so lauten soll:

Hier sind die a_i ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} und r ∈ N, r ≠ 1

und dass schließlich mit

4|N () 4|a1a0

gemeint ist:

4 | N <=> 4 | a₁ a₀

Das ist auch die Behauptung.

 

a) Die Zahl 1312 ist in der angegebenen Form

mit r = 3 und a₃ = 1, a₂ = 3, a₁ = 1 und a₀ = 2.

Die zweistellige Zahl a₁ a₀ ist hier: a₁ a₀ = 12. Diese ist durch 4 teilbar: 12 / 4 = 3

Damit ist gemäß der Behauptung auch 1312 durch 4 teilbar, was auch stimmt, denn: 1312 / 4 = 328

(328 ist übrigens gemäß der Behauptung auch wieder durch 4 teilbar, da 28 durch 4 teilbar ist.)

 

b)

A) Ich zeige zunächst: 4 | a₁ a₀ ⇒ 4 | N

Es gilt:

Satz 1) Sind zwei Zahlen a und b durch k teilbar, dann ist auch die Summe a + b durch k teilbar:

( k | a und k | b ) => k | ( a + b ) . 

Beweis: k | a und k | b => a = k * m und b = k * n

=>  a + b = k * m + k * n = k * ( m + n )

=> k | ( a + b )

Satz 2) Ist von zwei Zahlen x und y  mindestens eine durch k teilbar, dann ist auch das Produkt x * y durch k teilbar.

( k | x oder k | y ) => k | ( x * y )

Beweis: k | x oder  k | y => x = k * m oder y = k * n

=>  x * y = k * m * y oder x * y = x * k * n

=> k | ( x * y )

 

Jede Zahl N, die die Dezimaldarstellung 

N = a_r a_r−1 . . . a₂ a₁ a₀

besitzt, kann in die Summe

N = N₁ + N₀

mit  N₁ = ( a_r a_r−1 . . . a₂  ) * 100 und N₀= a₁ a₀

zerlegt werden (Beispiel: 1312 = 13 * 100 + 12 )

Wegen 4 | 100 ( 100 / 4 = 25 )

gilt gemäß Satz 2 auch

4 | ( a_r a_r−1 . . . a₂  ) * 100

also 4 | N_1.

Wenn nun auch noch gilt: 4 | N₀ , also 4 | a₁ a₀

dann gilt gemäß Satz 1 auch

4 | ( N₁ + N₀ ) => 4 | N 

 

B) Nun die andere Richtung, also: 4 | N => 4 | a₁ a₀

Satz 3: Ist die Summe ( a + b ) durch k teilbar und ist auch einer ihrer Summanden durch k teilbar, dann ist auch der andere Summand durch k teilbar: 

k | a und k | ( a + b ) => k | b

Beweis:

k | a und k | ( a + b )

=> a = m * k und ( a + b ) = r * k

=> m * k + b = r * k

=> b = r * k - m * k  = ( r - m ) * k

=> k | b

( Ebenso wird gezeigt: k | b und k | ( a + b ) => k | a )

 

4 | N => 4 | a_r a_r−1 . . . a₂ a₁ a₀

[Zerlegung der Zahl a_r a_r−1 . . . a₂ a₁ a₀ in eine Summe:]

=> 4 | ( a_r a_r−1 . . . a₂ ) * 100 + a₁ a₀

[ Es gilt 4 | 100 also gilt gemäß Satz 2 auch 4 | ( a_r a_r−1 . . . a₂ ) * 100 und damit folgt aus Satz 3:]

=> 4 | a₁ a₀

q.e.d.