(i) Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in r_{9}} \) eine monoton fallende Nullfolge nichtnegativer Glieder. Zeigen Sie, dass \( \Gamma_{n=1}^{\infty} a_{n} \) genau dann konvergiert, wenn \( \Gamma_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \) konvergiert.
(ii) Für \( s>1 \) ist die Riemann'sche Zetafunktion gegeben als \( \zeta(s)=\Gamma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}} . \) Zeigen Sie als Anwendung von (i), dass die Reihe für \( s>1 \) konvergiert und für \( s \leq 1 \) divergiert.
