Monoton fallende Folge deren Reihe konvergiert. Zu zeigen (n*a_{n}) ist eine Nullfolge.

Question

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Es sei (an) eine reelle monoton fallende Folge und ∑a_n konvergiert. Zeigen Sie, dass dann (n*a_n) eine Nullfolge ist.

Hinweis: Cauchy-Kriterium

Also meine Gedanken dazu sind:

(a_n) ist eine monoton fallende Folge => a_n+1 ≤ a_n

Wir haben in der Vorlesung gesagt, dass ∑a_n konvergiert ⇔ für jedes ε>0 existiert ein n₀ ∈ N, sodass

Ιa_(n+1)+.....+a_(m)Ι < ε für alle m>n>n0

wir haben dazu aufgeschrieben, dass der Satz die notwendige Bedingung für die Konvergenz liefert, nämlich, dass an eine Nullfolge sein muss.

Für (n*a_n) würde das implizieren

Ι(n+1)*a_(n+1)+....+m*a_(m)Ι < ε für alle m>n>n0

Wie zeige ich, dass dies gilt?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen dass n*an eine Nullfolge ist, wenn ...

Stichworte: cauchy-folge,nullfolge,konvergenz,folge,analysis

Aufgabe:

Sei (a_n)_n∈N ⊆ R monoton fallend und  ∑_na_n konvergent. Zeigen Sie, dass

dann lim _n→∞ na_n = 0 gilt.

Problem/Ansatz:

Wenn die Summe einer Folge also die Reihe konvergiert dann tut das auch die Folge.

Jetzt muss aber na_n eine Nullfolge sein, das kann ja aber nur der Fall sein wenn schon a_n eine Nullfolge ist oder n=0.

Mein Problem ist jetzt hier, dass ich nicht weiß wie ich es zeigen soll.

Grüße

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Warum beginnst du mit der Summe erst bei k=n+1?

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Vom Duplikat:

Titel: Zeige,dass eine Folge eine Nullfolge ist, wenn ihre Reihe konvergiert

Stichworte: nullfolge,konvergenz,folge,reihen,monotonie

Ich muss folgende Aufgabe beweisen. Ich wäre euch dankbar falls Ihr euch meinen Beweisführung ansehen könntet und mir sagen könntet ob meine Schlussfolgerung korrekt sind. Falls Ihr Verbesserungsvorschläge zur Notation habt, sagt mir bitte auch bescheid. Ich persönlich denke, dass etwas fehlt und wäre froh wenn ich meine Unsicherheit los bin.

Aufgabe:

$$\text{ Sei }(a_k)_{k \in \mathbb{N}^*}  \text{ eine monoton fallende Folge in } \mathbb{R} \text{ mit } a_k \geq 0 ,\forall k \in \mathbb{N}^* \\[10pt]\text{ Zu zeigen: } \\ \text{ Folge } (ka_k)_{k\in N^*} \text{ ist eine Nullfolge ist, falls die Reihe } \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k \text { konvergent ist.}$$

Ansatz:

$$ \text { Zu zeigen: } \\\lim\limits_{k\to\infty} S_n:(\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k)\overset{!}{=} a \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty} (ka_k)_{k\in N^*}=0 \\[10pt] \text{ Informationen:} \\[5pt] \text{ 1) } (a_k)_{k \in \mathbb{N}^*}  \text{ ist eine monoton fallende Folge in } \mathbb{R} \text{ mit } a_k \geq 0 ,\forall k \in \mathbb{N}^*  \text { also kann man zeigen ,dass } \lim\limits_{k\to\infty}(\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k)\text{ konvergiert mit Hilfe des Monotoniekriterium für Reihen. } \\\text{ Monotoniekriterium: Eine Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert,}\\ \text {wenn ihre Partialsummen nach oben beschränkt sind .} \\ (\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k ,a_k \geq 0 , k \geq N) \land (S_n:\sum \limits_{k=1}^{n}a_k \leq K) \Longrightarrow\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{k\to\infty} S_n \leq K \\[10pt] \text{ Da die Folge } (a_k)_{k \in \mathbb{N}^*} \text{  monoton fallend ist} \Longrightarrow \exists max (a_k), \text{ nämlich für k=1 }\Longrightarrow K= a_1 \\\Longrightarrow \text{Die Reihe } \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k \text { ist konvergent mit}\lim\limits_{k\to\infty} S_n \leq a_1 \Box \\\text{ Da die Reihe Sn konvergent ist, sind alle folgen der Reihe konvergent und damit gelten die Grenzwertrechengesetze für die Folgen: } \\[5pt] \text{ 2) }\lim\limits_{k\to\infty}(ka_k)_{k\in N^*}\overset{!}{=}0 \Longrightarrow (\lim\limits_{k\to\infty}k=0) \lor (\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0) \\\text {Da }k\in \mathbb{N}^*  \Longrightarrow \neg (\lim\limits_{k\to\infty}k=0) \lor (\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0) \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}a_k=0 \\\Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}(ka_k)_{k\in N^*}=0 \\\blacksquare$$

Answer 1

Tipp: \(\displaystyle0\le n\cdot a_{2n}\le\sum_{k=n+1}^{2n}a_k\).