Vom Duplikat:
Titel: Zeige,dass eine Folge eine Nullfolge ist, wenn ihre Reihe konvergiert
Stichworte: nullfolge,konvergenz,folge,reihen,monotonie
Ich muss folgende Aufgabe beweisen. Ich wäre euch dankbar falls Ihr euch meinen Beweisführung ansehen könntet und mir sagen könntet ob meine Schlussfolgerung korrekt sind. Falls Ihr Verbesserungsvorschläge zur Notation habt, sagt mir bitte auch bescheid. Ich persönlich denke, dass etwas fehlt und wäre froh wenn ich meine Unsicherheit los bin.
Aufgabe:
$$\text{ Sei }(a_k)_{k \in \mathbb{N}^*} \text{ eine monoton fallende Folge in } \mathbb{R} \text{ mit } a_k \geq 0 ,\forall k \in \mathbb{N}^* \\[10pt]\text{ Zu zeigen: } \\ \text{ Folge } (ka_k)_{k\in N^*} \text{ ist eine Nullfolge ist, falls die Reihe } \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k \text { konvergent ist.}$$
Ansatz:
$$ \text { Zu zeigen: } \\\lim\limits_{k\to\infty} S_n:(\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k)\overset{!}{=} a \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty} (ka_k)_{k\in N^*}=0 \\[10pt] \text{ Informationen:} \\[5pt] \text{ 1) } (a_k)_{k \in \mathbb{N}^*} \text{ ist eine monoton fallende Folge in } \mathbb{R} \text{ mit } a_k \geq 0 ,\forall k \in \mathbb{N}^* \text { also kann man zeigen ,dass } \lim\limits_{k\to\infty}(\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k)\text{ konvergiert mit Hilfe des Monotoniekriterium für Reihen. } \\\text{ Monotoniekriterium: Eine Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert,}\\ \text {wenn ihre Partialsummen nach oben beschränkt sind .} \\ (\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k ,a_k \geq 0 , k \geq N) \land (S_n:\sum \limits_{k=1}^{n}a_k \leq K) \Longrightarrow\sum \limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{k\to\infty} S_n \leq K \\[10pt] \text{ Da die Folge } (a_k)_{k \in \mathbb{N}^*} \text{ monoton fallend ist} \Longrightarrow \exists max (a_k), \text{ nämlich für k=1 }\Longrightarrow K= a_1 \\\Longrightarrow \text{Die Reihe } \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k \text { ist konvergent mit}\lim\limits_{k\to\infty} S_n \leq a_1 \Box \\\text{ Da die Reihe Sn konvergent ist, sind alle folgen der Reihe konvergent und damit gelten die Grenzwertrechengesetze für die Folgen: } \\[5pt] \text{ 2) }\lim\limits_{k\to\infty}(ka_k)_{k\in N^*}\overset{!}{=}0 \Longrightarrow (\lim\limits_{k\to\infty}k=0) \lor (\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0) \\\text {Da }k\in \mathbb{N}^* \Longrightarrow \neg (\lim\limits_{k\to\infty}k=0) \lor (\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0) \Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}a_k=0 \\\Longrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}(ka_k)_{k\in N^*}=0 \\\blacksquare$$
