Aufgabe
Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen, d.h. für jedes \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( 0 \leq a_{n+1} \leq \) \( a_{n} \). Zeigen Sie:
1. Die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) konvergiert genau dann, wenn die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \) konvergiert.
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2. Ist die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) konvergent, so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \)
3. Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \sqrt{k}} \) konvergent ist.
