Entscheiden Sie, ob die angegebene Folge \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} eine Nullfolge ist.

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die angegebene Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist.

(i) \( a_{n}=\sqrt[5]{n+k}-\sqrt[5]{n} \quad(k>0) \),

(ii) \( a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \),

(iii) \( a_{n}=(-1)^{n} \frac{n}{n^{2}+1} \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich (i),(ii) berechne. Bzw. Ich habe kein Ansatz.

Bei der (iii) kann man doch sagen das es divergent ist oder? Weil es ständig zwischen -1,1 wechselt. Also -1,1,-1,1,-1,1…

Answer 1

Hallo

Hallo

i) mit der Summe der Wurzeln erweitern (3. Binom) merk dir das bei allen Differenzen von Wurzeln.

hilft nur bei Quadratwurzeln. mathilf hat meine Fehler gemerkt,

ii) kennst du die Definition von e und 1/e

iii) nur der Vorfaktor wechselt das Vorzeichen, der hintere Teil wieder durch n^2 kürzen  dann siehst du dass er gegen 0 geht und 0 ist es egal ob sie mit-1 oder +1 multiplizieren. wird 1

Gruß lul

Comments

Geht das mit der 3. binomischen Formel auch so einfach bei 5ten Wurzeln?

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hallo

normalerweise spricht man bei Quadratwurzeln einfach von Wurzeln. andere Wurzeln haben wie dein 5. spezifischer Namen. wenn die Fragende die Binomische Formel kennt kommt er wohl nicht auf die Idee darauf die bin. Formel zur Vereinfachung anzuwenden!

Aber formal hast du recht.

Gruß lul

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Ich habe gefragt, weil ich Deinen Vorschlag für i nicht nachvollziehen kann

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Vielen Dank mathilf,

das 5 an der Wurzel habe ich einfach übersehen.

ich hoff der Fragende liest das

Gruß lul

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Ja, das habe ich auch als erstes gedacht aber die 5 hat mich verwirrt. Deswegen die frage hier. Komme trotzdem nicht weiter.

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Zwei Bemerkungen zu Aufgabe (i):

1. Die Erweiterung erfolgt doch, um die Wurzel im Zähler los zu werden und die Radikanden direkt zusammenfassen zu können.
Beispiel : \( \sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2-5} \)
Hier zu sagen "n² wächst schneller als 3n und schneller als -5, es bleibt \( \sqrt{n^2}-\sqrt{n^2} =0\) als Grenzwert" ist bekanntlich falsch.
Die Erweiterung mit \( \sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2-5} \)  und letztendliches Kürzen mit n führt hingegen auf \( \frac{(n^2+3n)-(n^2-5)}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2-5}} =\frac{3n+5}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2-5}}=\frac{3+\frac5n}{\sqrt{1+\frac3n}+\sqrt{1-\frac{5}{n^2}}}\) und schließlich zum Grenzwert 3/2.
Die hier benutzte Gleichung (√a - √b)*(√a + √b)  =  a - b  firmiert unter dem Namen "dritte binomische Formel" ist aber nur der Spezialfall einer viel allgemeineren Beziehung, die etwa im Falle von fünften Wurzeln die Gestalt  \( (\sqrt[5]{a}- \sqrt[5]{b})·( \sqrt[5]{a^4}+ \sqrt[5]{a^3b}+ \sqrt[5]{a^2b^2}+ \sqrt[5]{ab^3}+ \sqrt[5]{b^4}= a-b\) annimmt.
Eine Anwendung der Methode ist also auch hier möglich, allerdings ist die Methode an sich nicht unbedingt erste Wahl.

2. Schneller ist meist die Anwendung der Näherung (1+x)ⁿ ≈ 1+n*x für kleine x.
Für das obige Beispiel klammere man dazu als erstes aus und erhält mit \( \sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2-5} =n·((1+\frac3n)^{1/2}-(1-\frac{5}{n^2})^{1/2})\) ≈ \(n·(1+\frac{3}{2n}-1+\frac{5}{2n^2})=\frac32+\frac{5}{2n}\) sofort den Grenzwert 3/2.
Im Hinblick auf Aufgabe (i) erhält man so
\(\sqrt[5]{n+k}-\sqrt[5]{n} =\sqrt[5]{n}·(\sqrt[5]{1+k/n}-1) \) ≈ \(\sqrt[5]{n}·(1+\frac{k}{5n}-1)=\frac k5·\frac{1}{\sqrt[5]{n^4}}\) und den Grenzwert 0.

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Ich verstehe aber nicht warum der Grenzwert 0 ist. Die Darstellung ist viel zu kompliziert.

Answer 2

ii)

lim (1+1/n)^n = e

lim (1-1/n) = e^-1 = 1/e

iii) Kürze mit n!

Comments

D.h. e=1 und e^-1=1/e also ist 1/e wenn wir wissen das e=1 dann 1/1= 1 , dann folgt 1-1=0 ???

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Nein.

e = 2,718281....

e - 1/e =   2,35 (gerundet)

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%281%2B1%2Fn%29%5En+-%281-1%2Fn%29%5En+

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Ah, ja. Vielen dank. Das wäre dann keine Nullfolge?

Answer 3

Aloha :)

zu a) Verwende die Bernoulli-Unlgeichung \((1+x)^r\le(1+rx)\) für \(r\in[0;1]\).$$a_n=\sqrt[5]{n+k}-\sqrt[5]{n}=\sqrt[5]{n\left(1+\frac kn\right)}-\sqrt[5]{n}=\sqrt[5]{n}\cdot\sqrt[5]{1+\frac kn}-\sqrt[5]{n}$$$$\phantom{a_n}=\sqrt[5]{n}\cdot\left(1+\frac kn\right)^{\frac15}-\sqrt[5]{n}\le\sqrt[5]{n}\cdot\left(1+\frac15\cdot\frac kn\right)-\sqrt[5]{n}$$$$\phantom{a_n}=\sqrt[5]{n}\cdot\frac{k}{5n}=n^{\frac15}\cdot\frac{k}{5n^{\frac55}}=\frac{k}{5n^{\frac45}}\to0$$

zu b) Verwende die lineare Näherung \(e^x\approx 1+x\) für \(x\approx0\).$$e^1=e^{\frac nn}=\left(e^{\frac1n}\right)^n\stackrel{(n\gg1)}{\approx}\left(1+\frac1n\right)^n\quad;\quad e^{-1}=e^{-\frac nn}=\left(e^{-\frac1n}\right)^n\stackrel{(n\gg1)}{\approx}\left(1-\frac1n\right)^n$$Die Näherung wird umso besser, je größer \(n\) wird, im Grenzwert \(n\to\infty\) gilt Gleichheit:$$b_n=\left(1+\frac1n\right)^n-\left(1-\frac1n\right)^n\to e^1-e^{-1}=e-\frac1e=\frac{e^2-1}{e}\ne0$$

zu c) Die Folge alterniert zwar, aber die Einhüllende geht gegen \(0\). Um das zu zeigen betrachte den Betrag und erinnere dich daran, dass ein positiver Bruch größer wird, wenn man den Nenner verkleinert:$$|c_n|=\frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac1n\to0$$