Umsatz Wachstum Zinsen Zinseszins

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen bekommt im ersten Jahr 200 Millionen und der Umsatz nimmt jedes Jahr zu

a) um 10 Millionen

-wie groß ist der Umsatz nach 20 Jahren

-Gesamtumsatz nach 20 Jahren

b) um 10% des Vorjahres

-wie groß ist der Umsatz nach 20 Jahren
-Gesamtumsatz nach 20 Jahren

Welche Formeln sind hier zielführend?

Ich habe es erst über die Rentenendwert Formel versucht, komme aber nie aufs richtige Ergebnis.

Answer 1

Ein Unternehmen bekommt im ersten Jahr 200 Millionen und der Umsatz nimmt jedes Jahr zu

a) um 10 Millionen
-wie groß ist der Umsatz nach 20 Jahren
200 + 10 * 20
400

-Gesamtumsatz nach 20 Jahren
( 200 + 10 ) + ( 200 + 10 * 2 ) + ( 200 + 10 * 3 ) ...
200 * 20  + 10 * ( 1 + 2 + ... 20 ) ( arithmetische Reihe )
4000 + 10 * ( ( 1 + 20 ) * 20 / 2 )
6100

b) um 10% des Vorjahres
-wie groß ist der Umsatz nach 20 Jahren
( 200 * 1.1 ) * 1.1 ) * ...
200 * 1.1 ^20
200 * 6.73
1345.5

-Gesamtumsatz nach 20 Jahren

Comments

Ja. Die Schwierigkeiten liegen hier eher auf sprachlicher Ebene als auf rechnerischer.

Answer 2

Für a) gelten die Formeln für arithmetische Reihen, für b) gelten die Formeln für geometrische Reihen. Beides findet man unter diesen Stichworten.

Answer 3

Schau mal ob das wie folgt hinkommt.

Ein Unternehmen bekommt im ersten Jahr 200 Millionen und der Umsatz nimmt jedes Jahr zu

a) um 10 Millionen

a(1) = 200 ; a(n + 1) = a(n) + 10

a(n) = 200 + 10·(n - 1)
s(n) = 200·n + 1/2·10·n·(n - 1)

a1) Wie groß ist der Umsatz nach 20 Jahren.

im 20. Jahr: a(20) = 390
im 21. Jahr: a(21) = 400

a2) Gesamtumsatz nach 20 Jahren.

s(20) = 200·20 + 1/2·10·20·(20 - 1) = 5900


b) um 10% des Vorjahres

a(1) = 200 ; a(n + 1) = a(n)·1.1

a(n) = 200·1.1^(n - 1)
s(n) = 200·(1.1^n - 1)/(1.1 - 1)

b1) Wie groß ist der Umsatz nach 20 Jahren.

im 20. Jahr: a(20) = 1223.18
im 21. Jahr: a(21) = 1345.50

b2) Gesamtumsatz nach 20 Jahren.

s(20) = 11455.00