Normalform einer quadratischen Funktion oder quadratischen Gleichung?

Question

Ich sitze gerade am Ausbau der Wiki-Artikel zu den quadratischen Funktionen (nebenbei erwähnt, es wird zukünftig „Formelübersichten“ geben, die das Wichtigste kurz zusammenfassen, siehe auch Formelübersicht Brüche als Beispiel).

Bei den quadratischen Funktionen stolpere ich über die „Normalform“.

Um von der Allgemeinform zur Normalform zu kommen, muss man meines Wissens nach die Allgemeinform null setzen und durch a dividieren:

$$ f(x) = a·x^2 + b·x + c = 0 \\ a·x^2 + b·x + c = 0  \qquad |:a \\ x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a} = 0 \qquad | p = \frac{b}{a}; \quad q = \frac{c}{a} \\ x^2 + p·x + q = 0 $$

Ich frage mich jedoch, ob man an der Stelle nicht von „Normalform einer quadratischen Gleichung“ sprechen muss, da ja das f(x) durch das Nullsetzen beseitigt ist und keine Funktionsgleichung mehr vorliegt!?

Alternativ wäre zu klären, wie man das f(x) beibehalten kann. Folgendes darf man sicher nicht so notieren:

\( f(x) = a·x^2 + b·x + c  \qquad |:a \\ \color{#F00}{\frac{f(x)}{a}} = 1·x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a}  \)

Sieht doch erschreckend aus :)

Ausklammern würde auch gehen:

\(  f(x) = a·(x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a})  \)

Doch dann ist die gesamte Funktionsgleichung ja nicht in Normalform, sondern nur ein Teilterm von ihr...

*Der Artikel „Normalform“ ist in Arbeit: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen-normalform

Answer 1

Normalform einer quadratischen Gleichung ist

        x² + px + q = 0.

Normalform einer quadratischen Funktion ist

        f(x) = ax² + bx + c.

\(f(x) = a·x^2 + b·x + c  \qquad |:a \\ \color{#F00}{\frac{f(x)}{a}} = 1·x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a} \)

Da spricht nicht gegen. Auch Funktionsgleichungen sind Gleichungen.

Answer 2

Richtig um eine allgemeine quadratische Gleichung mit Hilfe der pq-Formel zu lösen muss man die allgemeine Form erst durch a dividieren um die Normalform zu erhalten.

Es gibt auch eine quadratische Funktion in Normalform. Dabei handelt es sich dann nur um die verschobene Normalparabel.

Über die Normalform lässt sich also nicht jede beliebige Parabel darstellen.

Übrigens gibt es auch Lehrer die die allgemeine Form einer Funktion auch als Normalform bezeichnen. Das finde ich persönlich irreführend.

Answer 3

Hi,

Eine "Normalform" bei den quadratischen Funktionen kenn ich so nicht. Wie die Vorredner schon erwähnten, findet man das eher bei Gleichungen.

Soweit ich im Bilde bin, spricht man meist von einer Quadratischen Funktion in allgemeiner Form (oder eben Allgemeinform) wenn man von \(f(x) = ax^2+bx+c\) spricht (Auch wenn Normalform laut Linksammlung von Wolfgang so hin und wieder verwendet wird. Aber auch da bezogen auf \(f(x) = ax^2+bx+c\) !).

Die Allgemeine Form einer quadratischen Funktion in eine Art Normalform zu überführen, macht auch keinen Sinn. Entweder habe ich eine Normalparabel vorliegen oder nicht. Wenn hingegen eine Funktion mit \(a = 1\) vorliegt, so würde ich nicht von einer Umwandlung sprechen, sondern von einer quadratischen Funktion einer verschobenen Normalparabel. Also einer "Spezialform" der allgemeinen Form. Die ich übrigens für wichtig genug halte um sie zu erwähnen ;).

Was Du hier machen willst, macht nur Sinn bei quadratischen Gleichungen. Letztlich zielt das bspw. auf die Anwendung des Satzes von Vieta oder der pq-Formel ab um die Nullstellen zu finden oder ähnliches.

Grüße

Answer 4

Kai hat:
$$ f(x) = a·x^2 + b·x + c  \qquad |:a \\ \color{#F00}{\frac{f(x)}{a}} = 1·x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a} $$

Die erste Zeile wird gelegentlich als Normalform bezeichnet. Ich würde mich hüten die zweite Zeile als "Normalform" einer Funktionsgleichung zu bezeichnen.

Zu einer Funktion f gehört ein Definitionsbereich D, ein Wertebereich W und eine eindeutige Vorschrift nach der f allen Elementen von D einem Wert in W zuordnet. Wenn Werte in W zu Beginn schon durch a geteilt sind, widerspricht das der Intuition.

Oswald hat:

Normalform einer quadratischen Gleichung ist

$$ x^{2} + px + q = 0 $$

Normalform einer quadratischen Funktion ist

$$ f(x) = ax^{2} + bx + c $$

Das finde ich i.O. Definieren kann man, was man will; in der Schule / Abi / ..., was das Bundesland ... festlegt in offiziellen Lehrmitteln.

Quadratische Gleichung in pq-Form ist

$$ x^{2} + px + q = 0 $$

Quadratische Gleichung in abc-Form / Mitternachtsform ist

$$ ax^{2} + bx + c = 0 $$

Dass das Wort Normalform immer wieder verwendet wird sowohl für "gewöhnlich" als auch z.B. für "senkrecht auf", heisst ja nicht, dass man es noch häufiger als zwingend verwenden soll.

Wenn du im Lehrbuch wirklich keine Bezeichnung findest (Allgemeinform vielleicht?) und unbedingt eine einführen willst, kannst du einen sprechenderen Namen suchen z.B. abc-Form, Koeffizientenform usw. 

Comments

allgemeine Form einer Funktion auch als Normalform bezeichnen. Das finde ich persönlich irreführend.

Irreführend ist doch vielmehr der Begriff "Normalparabel", der durch so etwas wie "normierte Parabel" oder "Standardparabel" ersetzt weden sollte, so wie es ja auch einen "normierten Normalenvektor" und eine "standardisierte Normalverteilung" gibt.

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Begriffe, die von Bundesländern vorgegeben werden, können Lernende, die zentrale Prüfungsfragen zu beantworten haben werden, leider nicht einfach ignorieren / umdefinieren. Lernt man sie, wie vorgegeben, kann man exakte Fragen eindeutig verstehen.

Zusammenhang bei Kai: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen-allgemeinform

Es geht gerade um Nr. 7.

Das ist aber im Priunip wieder 4. und dann ebenso 8..

5. "Gestreckte oder gestauchte Normalparabel" wird in Lehrmitteln eher so verwendet als mit einem Zusatz "mit".

@hj2166: Warum soll y = a(x-b)^2 + c keine "allgemeine Form" der quadratischen Funktion sein und in Kais Abschnitt 6 gehören? 

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Es gibt im Handel Schablonen einer "Normalparabel", bei denen es offenbar nur auf die Form aber überhaupt nicht auf ihre Lage im Koordinatensystem ankommt.

Wenn ich in ein Koordinatensystem mit unterschiedlichen Skalierungen auf der x- und der y-Achse den Graphen der Funktion f mit f(x) = x^2 einzeichne, ist die so entandene Kurve dann eine Normalparabel ?

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@hj : Gute Ergänzung.

Für mich ist das nur dann eine (verschobene) Normalparabel, wenn die Skalierung der Achsen der Skalierung der Schablone entspricht.

Kai will hier Terminologie für Funktionen festlegen und nicht für geometrische Figuren (Parabeln, Ellipsen usw.) . Bzw. die Terminologie irgendwie zur Deckung bringen.

Answer 5

Übrigens gibt es auch Lehrer ....

und z. B. auch:

https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

https://www.mathe-lerntipps.de/darstellungsformen-normalform-scheite…

https://www.schlauerlernen.de/allgemeineform-scheitelform-normalform…

https://www.mathe-seite.de/mittelstufe/analysis-geraden-und-parabeln…

https://www.mathe-seite.de/mittelstufe/analysis-geraden-und-parabeln/parabeln/lff-linearfaktorform-aus-normalform

https://www.youtube.com/watch?v=_rvvZn1zTRc

https://www.youtube.com/watch?v=Uerv4pSkYt8

Natürlich gibt es im Netz auch Gegenbeispiele, wie z.B.:

https://www.studienkreis.de/mathematik/normalform/

Auffällig ist, dass Wikipedia den Begriff Normalform bei quadratischen Funktionen vermeidet.

Und ich denke, dass man genau das tun und den Begriff Normalform nur bei quadratischen Gleichungen anwenden sollte. Auch wenn der Begriff "verschobene Normalparabel" sehr verführerisch ist, besteht bei deren Gleichung in allgemeiner Form (Polynomform) keinerlei Unterschied zu dem, was man vielleicht gern "Normalform" nennen möchte. Warum also e

Natürlich gibt es im Netz auch Gegenbeispiele, wie z.B.:

https://www.studienkreis.de/mathematik/normalform/

Auffällig ist, dass Wikipedia den Begriff Normalform bei quadratischen Funktionen vermeidet.

Und ich denke, dass man genau das tun und den Begriff Normalform nur bei quadratischen Gleichungen anwenden sollte.

Auch wenn der Begriff "verschobene Normalparabel" sehr verführerisch ist, besteht bei deren Gleichung in allgemeiner Form (Polynomform) keinerlei Unterschied zu dem, was man vielleicht gern "Normalform" nennen möchte. Warum also ein weiterer Name? :-)