Euklidischer Abstand Kurve & Punkt

Question

Aufgabe:

Stellen Sie eine Funktion d(t) für den euklidischen Abstand eines Punktes [x,y,z]^T zur Kurve p(t) = [ t, sin(t), cos(t)]^T
auf und vereinfachen Sie diese soweit möglich.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Ansätze wie ich sowas angehen kann. Wie kann man den euklidischen Abstand mit einer Funktion beschreiben?

Comments

Ginge es um eine Gerade würde ich folgendes machen

f = (Geradengleichung - Punkt) * Richtungsvektor der Geraden - Punkt = [x; y; z]

$$ d(t)=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+f_{z}^{2}} $$

Leider habe ich hier keinen solchen Ansatz mit dem ich rechnen könnte...

Answer 1

Die Entfernung  vom Punkt(x;y;z) zum Kurvenpunkt p(t)

ist √(  (x-t)^2 + (y-sin(t))^2 + (z-cos(t)^2 )

und gesucht ist das t, für welches diese Entfernung minimal ist.

Dazu kann man die Wurzel weglassen; denn die zugehörige Funktion

ist ja monoton steigend, also die Entfernung am kleinsten, wenn

der Radikand am kleinsten ist.

Diesen kannst du nach t ableiten

f ' (t) = 2(x-t) + 2*(y-sin(t))*(-cos(t) + 2*(z-cos(t))*sin(t)

         = 2x - 2t + 2y + 2z

Also f ' (t) = 0 <=>    t = x+y+z  (und das ist offenbar die

Stelle des Minimums.)

Also ist die gesuchte Funktion

d(t) = √(  (-y-z)^2 + (y-sin(x+y+z))^2 + (z-cos(x+y+z)^2 )

kann man noch "vereinfachen ?" zu

d(t)=√ (   1+2z^2 + 2yz + 2y^2 - 2y*sin(x+y+z) -2z*cos(x+y+z) )

Comments

Die Entfernung  vom Punkt(x;y;z) zum Kurvenpunkt p(t)
ist √(  (x-t)² + (y-sin(t))² + (z-cos(t)² )

Wieso? Ist das eine allgemeine Formel in der du das eingesetzt hast?

Warum genau ist die Entfernung: Die Ableitung umgestellt nach t?

Du hast im Grunde genommen t = x+y+z in die folgende Gleichung eingesetzt korrekt?

√(  (x-t)2 + (y-sin(t))2 + (z-cos(t)2 )

Ich Danke dir vielmals und würde mich echt freuen, wenn du dir nochmal die Mühe machen würdest aufzuklären von wo du die Funktion da verwendet hast, weil ich echt nicht verstehe.

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Die Entfernung  vom Punkt(x;y;z) zum Kurvenpunkt p(t)
ist √(  (x-t)2 + (y-sin(t))2 + (z-cos(t)2 )

Das ist einfach die Formel:

Entfernung zweier Punkte (a,b,c), (x,y,z) ist

√(  (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 )

wie etwa bei: Raumdiagonale eines Quaders

Das mit der Ableitumng = 0

ist ein Kriterium für Extremwerte, und du

suchst ja das Minimum der Entfernungen.

Du hast im Grunde genommen t = x+y+z in die folgende

Gleichung eingesetzt korrekt?    JA !